$0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$  

Jesteśmy w I ćwiartce układu współrzędnych (bo kąt  $\alpha$   jest ostry). Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych są dodatnie. 

$\text{a)}\sin \alpha =\frac{12}{13}$  

Obliczamy ile wynosi wartość funkcji  $\cos \alpha$ . 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{144}{169}+{\cos }^2\alpha =1\mid -\frac{144}{169}$

${\cos }^2\alpha =\frac{25}{169}$

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{25}{169}}$

$\cos \alpha =\frac{5}{13}$       

Obliczamy teraz ile wynosi wartość funkcji  $\mathrm{tg}\alpha$  . 

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=\frac{12}{{\sout{13}}_1}\cdot \frac{{\sout{13}}^1}{5}=\frac{12}{5}$  

---

$\text{b)}\cos \alpha =\frac{8}{17}$  

Obliczamy ile wynosi wartość funkcji  $\sin \alpha$  . 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{8}{17}\right)}^2=1$   

${\sin }^2\alpha +\frac{64}{289}=1\mid -\frac{64}{289}$

${\sin }^2\alpha =\frac{225}{289}$   

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{225}{289}}$  

$\sin \alpha =\frac{15}{17}$   

Obliczamy teraz ile wynosi wartość funkcji  $\mathrm{tg}\alpha$  . 

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}=\frac{15}{{\sout{17}}_1}\cdot \frac{{\sout{17}}^1}{8}=\frac{15}{8}$  

---

$\text{c)}\mathrm{tg}\alpha =\frac{60}{11}$  

Obliczamy ile wynosi wartość funkcji  $\cos \alpha$  . 

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{60}{11}\mid \cdot \cos \alpha$  

$\sin \alpha =\frac{60}{11}\cos \alpha$  

Skorzystamy teraz z jedynki trygonometrycznej. 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{60}{11}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{3600}{121}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$   

$\frac{3721}{121}{\cos }^2\alpha =1\mid :\frac{3721}{121}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{121}{3721}$  

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{121}{3721}}$  

$\cos \alpha =\frac{11}{61}$  

Obliczamy ile wynosi wartość funkcji  $\sin \alpha$  . 

$\sin \alpha =\frac{60}{{\sout{11}}_1}\cdot \frac{{\sout{11}}^1}{61}=\frac{60}{61}$  

---

$\text{d)}\mathrm{tg}\alpha =2$  

Obliczamy ile wynosi wartość funkcji  $\cos \alpha$  . 

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\mid \cdot \cos \alpha$  

$\sin \alpha =2\cos \alpha$  

Skorzystamy teraz z jedynki trygonometrycznej. 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(2\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$4{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$5{\cos }^2\alpha =1\mid :5$

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}$   

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{5}}$

$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika.

$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$  

Zatem:

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$     

Obliczamy teraz ile wynosi wartość funkcji  $\sin \alpha$  . 

$\sin \alpha =2\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$