a) Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 15. 

Obliczamy ile wynosi długość boku oznaczonego literą a korzystając z tego, że  $\sin \alpha =\frac{3}{5}$  . 

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$  

$\frac{3}{5}=\frac{a}{15}$  

$3\cdot 15=5\cdot a$

$45=5a\mid :5$  

$\mathbf{a}=9$   

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi długość boku oznaczonego literą b. 

$b^2+9^2={15}^2$  

$b^2+81=225\mid -81$

$b^2=144$   

$b=\sqrt{144}$

$\mathbf{b}=12$   

---

b) Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość 14. 

Wiemy, że  $\sin \beta =\frac{24}{25}$  . Zatem: 

$\sin \beta =\frac{b}{c}$

$\frac{24}{25}=\frac{b}{c}$

$\frac{24}{25}c=b$    

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi długość boku oznaczonego literą c. 

$b^2+a^2=c^2$

${\left(\frac{24}{25}c\right)}^2+{14}^2=c^2$   

$\frac{576}{625}{c}^2+196=c^2\mid -\frac{576}{625}$

$196=\frac{49}{625}{c}^2\mid \cdot \frac{625}{49}$   

$c^2={\sout{196}}^4\cdot \frac{625}{{\sout{49}}_1}$  

$c^2=4\cdot 625$

$c=\sqrt{4\cdot 625}$

$c=2\cdot 25$    

$\mathbf{c}=50$  

Obliczamy teraz ile wynosi długość boku oznaczonego literą b. 

$b=\frac{24}{25}c$

$\mathbf{b}=\frac{24}{{\sout{25}}_1}\cdot {\sout{50}}^2=24\cdot 2=48$   

---

c) Dłuższa przyprostokątna ma długość √6+√2. 

Korzystając z tego, że  $\mathrm{tg}\beta =2+\sqrt{3}$   obliczamy ile wynosi długość boku trójkąta oznaczonego literą a, a > 0. 

$\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}$

$2+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{a}\mid \cdot a$   

$\left(2+\sqrt{3}\right)a=\sqrt{6}+\sqrt{2}\mid :\left(2+\sqrt{3}\right)$  

$a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika. 

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2+\sqrt{3}}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}-\sqrt{18}+2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2^2-{\sqrt{3}}^2}=$  

$=\frac{\sqrt{6}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{4-3}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$  

Zatem: 

$\mathbf{a}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$  

Obliczamy teraz ile wynosi długość boku oznaczonego literą c. 

${\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2=c^2$  

$6+2\sqrt{12}+2+6-2\sqrt{12}+2=c^2$  

$16=c^2$

$c=\sqrt{16}$

$\mathbf{c}=4$    

---

d) Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość √13. 

Wiemy, że   $\mathrm{tg}\alpha =1,5$ . Zatem: 

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$

$\frac{a}{b}=1,5\mid \cdot b$

$a=1,5b$    

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi długość boku oznaczonego literą b. 

$b^2+a^2=c^2$  

$b^2+{\left(1,5b\right)}^2={\left(\sqrt{13}\right)}^2$  

$b^2+2,25b^2=13$

$3,25b^2=13\mid :3,25$

$b^2=4$

$b=\sqrt{4}$

$\mathbf{b}=2$      

Obliczamy teraz ile wynosi długość boku oznaczonego literą a. 

$a=1,5b$

$\mathbf{a}=1,5\cdot 2=3$