$y=-2x+1$   - dana styczna

$a_s=-2$     - współczynnik kierunkowy

 

$f\left(x\right)=x^3+ax+1$  

 

$y=a_{s}x+b$     - równanie stycznej, gdzie:

$a_s=f{}^{\prime }\left(x_0\right)$   

 

Pochodna funkcji  $f\left(x\right)$  : 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2+a$        

 

Wiemy, że wartość pochodnej w punkcie  $x_0$   jest równa  $-2$  , a więc:  

$-2=3x_0^2+a$  

 

 

Zapiszmy równanie stycznej:

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\cdot \left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$    

 

$y=-2\cdot \left(x-x_0\right)+x_0^3+a{x}_0+1$   

 

$y=-2x+2x_0+x_0^3+a{x}_0+1$  

 

$y=-2x\underset{b}{\underbrace{+x_0^3+\left(a+2\right)x_0+1}}$   

 

Wiemy, że 

$y=-2x+\underset{b}{\underbrace{1}}$  

 

A więc możemy zapisać:

$1=x_0^3+\left(a+2\right)x_0+1$   

 

$0=x_0^3+\left(a+2\right)x_0$   

 

Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{array}{l}-2=3x_0^2+a\\ 0=x_0^3+\left(a+2\right)x_0\end{array}$   

 

$\{\begin{array}{l}-2-3x_0^2=a\\ 0=x_0^3+\left(-2-3x_0^2+2\right)x_0\end{array}$   

 

$0=x_0^3+\left(-2-3x_0^2+2\right)x_0$   

 

$0=x_0^3+\left(-3x_0^2\right)\cdot x_0$   

 

$0=x_0^3-3x_0^3$  

 

$0=-2x_0^3$     

 

$\underline{{\mathbf{x}}_0=0}$  

 

$a=-2-3x_0^2$  

 

$a=-2-3\cdot 0$  

 

$\underline{\mathbf{a}=-2}$    

 

$u\left(0\right)=-2\cdot 0+11=1$  

 

Współrzędne punktu styczności:

$\left(0,1\right)$