$f\left(x\right)=\frac{x^2+ax+b}{x-1}$  

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{1\right\}$  

 

Wiemy, że dla argumentu  $x=3$   funkcja przyjmuje wartość: 

$f\left(3\right)=7$  

 

Możemy więc zapisać:

$f\left(3\right)=\frac{3^2+3a+b}{3-1}=\frac{9+3a+b}{2}=7$  

 

$\frac{9+3a+b}{2}=7\mid \cdot 2$  

 

$9+3a+b=14$  

 

$\underline{3a+b=5}$   

 

Obliczmy pochodną funkcji  $f\left(x\right)$  :

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^2+ax+b\right){}^{\prime }\cdot \left(x-1\right)-\left(x^2+ax+b\right)\cdot \left(x-1\right){}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{\left(2x+a\right)\cdot \left(x-1\right)-\left(x^2+ax+b\right)\cdot 1}{{\left(x-1\right)}^2}=$  

 

$=\frac{2x^2-2x+ax-a-x^2-ax-b}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-a-b}{{\left(x-1\right)}^2}$  

 

Wiemy, że funkcja posiada ekstremum w punkcie  $x=3$  , a więc:

$f{}^{\prime }\left(3\right)=0$         

 

$\frac{3^2-2\cdot 3-a-b}{{\left(3-1\right)}^2}=0$  

 

$\frac{9-6-a-b}{2^2}=0$  

 

$\frac{3-a-b}{4}=0$  

 

$3-a-b=0$  

 

$\underline{3=a+b}$   

 

Możemy więc zapisać układ równań:  

 

$\{\begin{array}{l}3a+b=5\\ a+b=3\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}3a+b=5\\ -a-b=-3\end{array}$  

 

$+\underline{}$  

$3a+b-a-b=5-3$  

 

$2a=2\mid :2$  

 

$\underline{\mathbf{a}=1}$   

 

$a+b=3$  

$1+b=3$  

$\underline{\mathbf{b}=2}$     

 

 

Wyznaczmy pozostałe ekstrema:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2-2x-a-b}{{\left(x-1\right)}^2}$  

 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2-2x-1-2}{{\left(x-1\right)}^2}$  

 

$\frac{x^2-2x-1-2}{{\left(x-1\right)}^2}=0$  

 

$x^2-2x-3=0$  

 

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$  

$\sqrt{\Delta }=4$    

 

$x_1=\frac{2+4}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$       - o tym ekstremum już wiemy z treści zadania  

 

$x_2=\frac{2-4}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1$          - szukane maksimum

 

$f\left(x\right)=\frac{x^2+x+2}{x-1}$  

 

$f_{\max }\left(-1\right)=\frac{{\left(-1\right)}^2-1+2}{\left(-1\right)-1}=\frac{1-1+2}{-2}=\underline{-1}$