Wykonajmy rysunek pomocniczy przekroju osiowego:

Wiemy, że środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta - a więc kąt zaznaczony na zielono ma miarę  $\frac{\alpha }{2}$  

 

Znamy  $V$   stożka oraz miarę kąta $\alpha$  .

$V_k=\frac{4}{3}\pi r^3$   - wzór na objętość kuli o promieniu  $r$      

 

Znamy objętość stożka - możemy więc zapisać:

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi R^2\cdot H$  

 

$\frac{H}{R}=\tan \alpha$  

$H=\tan \alpha \cdot R$         

 

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi R^2\cdot \tan \alpha \cdot R$  

 

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi R^3\cdot \tan \alpha$  

 

$\frac{V}{\frac{1}{3}\pi \tan \alpha }=R^3$  

 

$R^3=\frac{3V}{\pi \tan \alpha }$   

 

 

 

$\frac{r}{R}=\tan \frac{\alpha }{2}$      

 

$r=R\cdot \tan \frac{\alpha }{2}$    

 

$r^3=R^3\cdot {\tan }^3\frac{\alpha }{2}$      

 

$r^3=\frac{3V}{\pi \tan \alpha }\cdot {\tan }^3\frac{\alpha }{2}$  

 

$V_k=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \frac{3V}{\pi \tan \alpha }\cdot {\tan }^3\frac{\alpha }{2}=\frac{4V}{\tan \alpha }\cdot {\tan }^3\frac{\alpha }{2}$  

 

 

 

Przekształćmy to wyrażenie.

$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$        

 

 

$V_K=\frac{4V}{\tan \alpha }\cdot {\tan }^3\frac{\alpha }{2}=\frac{4V\cos \alpha }{\sin \alpha }\cdot {\left(\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }\right)}^3=\frac{4V\cdot \cos {\left(1-\cos \alpha \right)}^3}{{\sin }^4\alpha }=\frac{4V\cdot \cos {\left(1-\cos \alpha \right)}^3}{{\left(1-{\cos }^2\alpha \right)}^2}=$  

 

$=\frac{4V\cdot \cos {\left(1-\cos \alpha \right)}^3}{{\left(\left(1-\cos \alpha \right)\left(1+\cos \alpha \right)\right)}^2}=\frac{4V\cdot \cos {\left(1-\cos \alpha \right)}^3}{{\left(1-\cos \alpha \right)}^2{\left(1+\cos \alpha \right)}^2}=\underline{\frac{4\mathbf{V}\cdot \cos \left(1-\cos \alpha \right)}{{\left(1+\cos \alpha \right)}^2}}$