a)

$\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{4x^2+4x+1}<4-x$  

 

$\sqrt{{\left(x-2\right)}^2}+\sqrt{{\left(2x+1\right)}^2}<4-x$  

 

$\left|x-2\right|+\left|2x+1\right|<4-x$    

 

Obliczmy, dla jakich wartości x wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi przyjmują wartość 0:

$x-2=0\to x=2$  

$2x+1=0\to 2x=-1\to x=-\frac{1}{2}$    

 

Czyli dla  $x\le -\frac{1}{2}$    nasza nierówność wygląda następująco:  

$-x+2-2x-1<4-x$  

$-3x+1<4-x$  

$-3<2x$  

$-\frac{3}{2}<x$  

 

$x\in (-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}>$   

 

 

Dla  $x\in \left(-\frac{1}{2};2\right)$   nasza nierówność wygląda następująco:      

$-x+2+2x+1<4-x$  

$x+3<4-x$  

$2x<1$  

$x<\frac{1}{2}$  

 

$x\in \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$  

 

 

Dla  $x\ge 2$    nasza nierówność wygląda następująco:

$x-2+2x+1<4-x$  

$3x-1<4-x$  

$4x<5$  

$x<\frac{5}{4}$   - jest to jednak sprzeczne z założeniem, że  $x\ge 2$   

 

Czyli rozwiązaniem tej nierówności jest suma zbiorów    $x\in (-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}>$    oraz      $x\in \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$  , czyli ostatecznie:

$x\in \left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$      

 

 

b)

$2\sqrt{x^2+2x+1}>x+4$  

$2\sqrt{{\left(x+1\right)}^2}>x+4$  

$2\left|x+1\right|>x+4$  

$\left|x+1\right|>\frac{x}{2}+2$   

 

Wiemy, że skoro

$\left|x\right|>a$  

to wtedy

$-a>x>a$  

 

Możemy zatem zapisać:

$-\left(\frac{x}{2}+2\right)>x+1>\frac{x}{2}+2$  

 

$-\frac{x}{2}-2>x+1>\frac{x}{2}+2$  

 

Czyli rozpatrujemy dwie nierówności:

$-\frac{x}{2}-2>x+1$    oraz    $x+1>\frac{x}{2}+2$     

 

Lewa nierówność:

$-\frac{x}{2}-2>x+1$  

$-3>\frac{3}{2}x$  

$-6>3x$  

$-2>x$                         

 

 

Prawa nierówność:

$x+1>\frac{x}{2}+2$  

$\frac{x}{2}>1$  

$x>2$     

 

Zbiorem rozwiązań jest suma tych przedziałów, czyli:

$x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(2;\infty \right)$