$f\left(x\right)=\log \left(\frac{1}{2}{x}^2+\left(m+1\right)x-m-1\right)$   

 

Dziedzina: 

$\frac{1}{2}{x}^2+\left(m+1\right)x-m-1>0$  

 

Aby dziedziną funkcji był zbiór liczb rzeczywistych, powyższą nierówność muszą spełniać wszystkie liczby rzeczywiste.

Zauważmy, ze równanie:

$\frac{1}{2}{x}^2+\left(m+1\right)x-m-1=0$  

Opisuje parabolę o ramionach skierowanych do góry. Chcemy, aby w całości znajdowała się ona nad osią OX, a więc chcemy, aby nie posiadała ona miejsc zerowych:

$\Delta <0$  

 

$\Delta ={\left(m+1\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-m-1\right)=m^2+2m+1+2m+2=m^2+4m+3$