a)

$f\left(x\right)=\log \left(m{x}^2-4x+m+3\right)$  

 

$m{x}^2-4x+m+3>0$  

 

Aby tę nierówność spełniała każda liczba rzeczywista, muszą zachodzić 2 warunki: parametr m musi być dodatni (wtedy parabola będąca wykresem będzie miała ramiona skierowane w górę):

$m>0$  

 

Oraz delta musi być ujemna (w ten sposób parabola w całości będzie znajdować się na osią OX):

$\Delta <0$   

 

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot m\cdot \left(m+3\right)=16-4m^2-12m=-4m^2-12m+16$  

 

$-4m^2-12m+16<0\mid :4$  

$-m^2-3m+4<0\mid \cdot \left(-1\right)$

$m^2+3m-4>0$

$m^2+4m-m-4>0$

$m\left(m+4\right)-\left(m+4\right)>0$

$\left(m+4\right)\left(m-1\right)>0$

 

$m\in \left(-\infty ;-4\right)\cup \left(1;\infty \right)$