$f\left(x\right)=\frac{\sin x\left(\mathrm{tg}x+\sin x\right)}{\cos x\left(1+\sin x\right)}$  

 

$\cos x\ne 0\to x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$  

 

 

 

$1+\sin x\ne 0$  

$\sin x\ne -1\to x\ne \frac{3}{2}\pi +2k\pi$  

 

tgx przyjmuje argumenty dla:

$x\in R\text{/ }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$                

 

 

Czyli ostatecznie dziedziną jest zbiór:

$D=\mathbb{R}\text{ }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{C}\right\}$   

 

 

$f\left(x\right)=\frac{\sin x\left(\mathrm{tg}x+\sin x\right)}{\cos x\left(1+\sin x\right)}=$  

 

$=\frac{\sin x\cdot \left(\frac{\sin x}{\cos x}+\sin x\right)}{\cos x+\sin x\cos x}=$  

 

$=\frac{\frac{{\sin }^{2}x}{\cos x}+{\sin }^{2}x}{\cos x+\sin x\cos x}\cdot \frac{\cos x}{\cos x}=$  

 

$=\frac{{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x\cos x}{{\cos }^{2}x+\sin {\cos }^{2}x}=$    

 

$=\frac{{\sin }^{2}x\left(1+\cos x\right)}{{\cos }^{2}x\cdot \left(1+\sin x\right)}$           

 

Zauważmy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną - a więc  ${\sin }^{2}x\ge 0;{\cos }^{2}x\ge 0$    

 

Wiemy, że funkcje sinx oraz cosx przyjmują wartości z przedziału <-1;1> - a więc wyrażenia:  $1+\cos x$   oraz  $1+\sin x$   są na pewno nieujemne.

Iloczyn oraz iloraz liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, a więc liczba    $\frac{{\sin }^{2}x\left(1+\cos x\right)}{{\cos }^{2}x\cdot \left(1+\sin x\right)}$   jest zawsze liczbą nieujemną.

 

Czyli funkcja f przyjmuje tylko wartości nieujemne.