${\cos }^{4}x+{\sin }^{4}x=1-{\sin }^{2}2x$   

 

Spróbujmy rozwiązać tę równość.

Wiemy, że:

$\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$  

    

${\cos }^{4}x+{\sin }^{4}x=1-{\left(2\cdot \sin x\cdot \cos x\right)}^2$   

 

${\cos }^{4}x+{\sin }^{4}x=1-4\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x$   

 

${\cos }^{4}x+4\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x+{\sin }^{4}x=1$   

 

${\cos }^{4}x+2\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x+{\sin }^{4}x+2\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=1$  

 

${\left(\underset{=1}{\underbrace{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}}\right)}^2+2\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=1$  

 

$1+2\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=1\mid -1$  

 

$2\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=0:2$  

 

${\left(\sin x\cdot \cos x\right)}^2=0$  

 

$\sin x\cdot \cos x=0$  

 

Nie jest prawdą, że każda liczba spełnia to równanie.

Weźmy np.  $x=\frac{\pi }{4}$   

$\sin \frac{\pi }{4}\cdot \cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\ne 0$           

 

 

 

Dla pewności podstawmy tę liczbę do początkowego równania:

$L={\left(\cos \frac{\pi }{4}\right)}^4+{\left(\sin \frac{\pi }{4}\right)}^4={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^4+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^4=\frac{4}{16}+\frac{4}{16}=\frac{1}{2}$   

$P={\left(1-\sin \frac{\pi }{2}\right)}^2={\left(1-1\right)}^2=0$    

$L\ne P$     

A więc podana równość nie jest tożsamością.