a)

${\sin }^{2}x<1\mid \sqrt{}$  

 

$\left|\sin x\right|<1$  

 

Naszkicujmy wykres funkcji |sinx|:

   

Funkcja przyjmuje wartości z przedziału <0; 1>, czyli przyjmuje wartości mniejsze od 1 w całej dziedzinie, poza:

$x=\frac{\pi }{2}+k\pi$  

 

A więc rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór: 

$x\in \mathbb{R}\text{ }\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\},k\in \mathbb{C}$    

 

 

---

b)

$4{\cos }^{2}x\ge 1\mid :4$  

 

${\cos }^{2}x\ge \frac{1}{4}\mid \sqrt{}$  

 

$\left|\cos x\right|\ge \frac{1}{2}$  

 

 

   

Zauważmy, że okresem otrzymanej funkcji jest  $\pi$  

 

Wyznaczmy, dla jakich x prosta przecina wykres funkcji |cosx|.

Wiemy, że:

$\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\to x=\frac{\pi }{3}$    

Funkcja cosx jest nieparzysta, a więc:

$\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\to x=-\frac{\pi }{3}$      

 

 

$x\in ⟨-\frac{\pi }{3}+k\pi ;\frac{\pi }{3}+k\pi ⟩;k\in \mathbb{C}$  

 

 

---

c)