a)

$\sin x=\frac{2a-1}{3-a}$    

 

Mianownik nie może być równy 0:

$3-a\ne 0$  

$3\ne a$   

 

Funkcja  $f\left(x\right)=\sin x$   przyjmuje wartości z przedziału <-1; 1>.

 

Muszą być zatem spełnione 2 warunki:

1)

$-1\le \frac{2a-1}{3-a}$    

 

Oraz:

2)

$\frac{2a-1}{3-a}\le 1$   

 

 

Rozwiążmy pierwszą nierówność:

1)

$-1\le \frac{2a-1}{3-a}$  

 

$0\le \frac{2a-1}{3-a}+1$  

 

$0\le \frac{2a-1}{3-a}+\frac{3-a}{3-a}$  

 

$0\le \frac{2a-1+3-a}{3-a}$  

 

$0\le \frac{a+2}{3-a}$  

 

$0\le \left(a+2\right)\cdot \left(3-a\right)$  

 

$0\ge \left(a+2\right)\cdot \left(a-3\right)$  

 

$a\in ⟨-2;3⟩$   

 

 

Rozwiążmy drugą nierówność           

2)

$\frac{2a-1}{3-a}\le 1$  

 

$\frac{2a-1}{3-a}-1\le 0$  

 

$\frac{2a-1}{3-a}-\frac{3-a}{3-a}\le 0$  

 

$\frac{2a-1-3+a}{3-a}\le 0$  

 

$\frac{3a-4}{3-a}\le 0$  

 

$\left(3a-4\right)\cdot \left(3-a\right)\le 0$  

 

$3\cdot \left(a-\frac{4}{3}\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(a-3\right)\le 0$   

 

$\left(a-\frac{4}{3}\right)\cdot \left(a-3\right)\ge 0$   

 

$a\in (-\infty ;\frac{4}{3}⟩\cup ⟨3;\infty )$   

 

 

Parametr a musi należeć jednocześnie do obu przedziałów, oraz musimy pamiętać, że  $x\ne 3$  , a więc ostatecznie otrzymujemy:

$\underline{a\in ⟨-2;\frac{4}{3}⟩}$         

 

 

---

b)

${\cos }^{2}x=\frac{a^2-3a+2}{a+1}$    

 

Mianownik musi być różny od 0:

$a+1\ne 0$  

$a\ne -1$  

 

Funkcja  $f\left(x\right)={\cos }^{2}x$   przyjmuje wartości z przedziału <0;1>    

1)

$\frac{a^2-3a+2}{a+1}\ge 0$    

 

2)

$\frac{a^2-3a+2}{a+1}\le 1$           

 

 

1)

$\frac{a^2-3a+2}{a+1}\ge 0$  

$\left(a^2-3a+2\right)\cdot \left(a+1\right)\ge 0$   

 

$a^2-3a+2=0$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$  

 

$a_1=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2$  

$a_2=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1$               

 

 

$\left(a-2\right)\cdot \left(a-1\right)\cdot \left(a+1\right)\ge 0$  

 

Naszkicujmy wykres wielomianu  $w\left(a\right)=\left(a-2\right)\left(a-1\right)\left(a+1\right)$  :

   

$a\in ⟨-1;1⟩\cup ⟨2;\infty )$   

 

 

2)

  $\frac{a^2-3a+2}{a+1}\le 1$  

 

$\frac{a^2-3a+2}{a+1}-1\le 0$  

 

$\frac{a^2-3a+2}{a+1}-\frac{a+1}{a+1}\le 0$  

 

$\frac{a^2-3a+2-a-1}{a+1}\le 0$  

 

$\frac{a^2-4a+1}{a+1}\le 0$  

 

$\left(a^2-4a+1\right)\cdot \left(a+1\right)\le 0$  

 

$a^2-4a+1=0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$  

$\sqrt{\Delta }=2\sqrt{3}$  

 

$a_1=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$  

$a_2=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$         

 

$\left(a-2-\sqrt{3}\right)\left(a-2+\sqrt{3}\right)\left(a+1\right)\le 0$   

    

$a\in (-\infty ;-1⟩\cup ⟨2-\sqrt{3};2+\sqrt{3}⟩$   

 

 

Parametr a musi należeć jednocześnie do obu wyznaczonych zbiorów, oraz musimy pamiętać, że  $a\ne -1$  , a więc ostatecznie otrzymujemy:

   $a=⟨2-\sqrt{;}1⟩\cup ⟨2;2+\sqrt{3}⟩$  

 

 

 

---

c)

$2{\sin }^{2}x+a^2-9=0$  

 

$2{\sin }^{2}x=9-a^2$  

 

${\sin }^{2}x=$ (9-a^2)/2  

 

Funkcja  $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$   przyjmuje wartości z przedziału  $⟨0,1⟩$   - liczba po prawej stronie równania musi więc spełniać 2 warunki:

$1)\frac{9-a^2}{2}>0$  

$2)\frac{9-a^2}{2}<1$  

 

1)

$\frac{9-a^2}{2}\ge 0$  

 

$9-a^2\ge 0$   

 

$\left(3-a\right)\left(3+a\right)\ge 0$  

 

$-\left(a-3\right)\left(a+3\right)\ge 0$  

 

$\left(a-3\right)\left(a+3\right)\le 0$           

 

$a\in ⟨-3;3⟩$  

 

 

2)

$\frac{9-a^2}{2}\le 1$  

 

$9-a^2\le 2$  

 

$7-a^2\le 0$  

 

$a^2-7\ge 0$  

 

$\left(a+\sqrt{7}\right)\left(a-\sqrt{7}\right)\ge 0$  

 

$a\in (-\infty ;-\sqrt{7}⟩\cup ⟨\sqrt{7};\infty )$  

 

Parametr a musi należeć jednocześnie do obu wyznaczonych zbiorów, a więc:

$a\in ⟨-3;-\sqrt{7}⟩\cup ⟨\sqrt{7};3⟩$