Zakładamy, że x,y są liczbami rzeczywistymi, oraz że 

$x+y=4$

chcemy sprawdzić, czy wówczas zachodzi

$x^2+y^2\ge 4$

Zastosujmy metodę dowodu nie wprost. Metoda ta polega na zaprzeczeniu dowodzonemu stwierdzeniu, założeniu że to zaprzeczenie jest prawdziwe i pokazanie, że prowadzi to do sprzeczności, czyli do jakiegoś fałszywego wniosku. 

Zauważmy, że podane stwierdzenie ma postać implikacji o poprzedniku

$x,y\in \mathbb{R},x+y=4$  

i następniku

$x^2+y^2\ge 4$

Załóżmy, że podane stwierdzenie jest fałszywe, a więc prawdziwe jest jego zaprzeczenie, tzn.

$x,y\in \mathbb{R},x+y=4$

i nieprawda, że

$x^2+y^2\ge 4$

To oznacza, że

  $x,y\in \mathbb{R},x+y=4i{x}^2+y^2<4$  

Podstawiając

$x=4-y$

do nierówności

  $x^2+y^2<4$   

dostaniemy

${\left(4-y\right)}^2+y^2<4$

$16-8y+y^2+y^2<4\mid -4$

$12-8y+2y^2<0\mid :2$

$6-4y+y^2<0$

$2+4-4y+y^2<0$

  $2+\underset{\ge 0}{\underbrace{{\left(2-y\right)}^2}}<0$

kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest liczbą dodatnią. Tym samym dochodzimy do sprzeczności, która oznacza, że nasze początkowe założenie  fałszywości podanego stwierdzenia było błędne. 

 

Zatem stwierdzenie podane w zadaniu jest prawdziwe. 

 

c.n.d.