Zakładamy, że a,b,c, są dodatnimi liczbami rzeczywistymi. 

Chcemy sprawdzić, czy dla takich liczb zachodzi nierówność

$\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9$   

 

Uprośćmy wyrażenie

$\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$  

otrzymamy

$1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)$  

 

Teraz zauważmy, że dla dowolnych rzeczywistych dodatnich liczb x i y zachodzi

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2$

istotnie, sprowadzając lewą stronę nierówności do wspólnego mianownika, otrzymamy

$\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{xy}\ge 2$

$\frac{x^2+y^2}{xy}\ge 2\mid \cdot xy$

$x^2+y^2\ge 2xy$

$x^2+y^2-2xy\ge 0$

$x^2-2xy+y^2\ge 0$

${\left(x-y\right)}^2\ge 0$

kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą nieujemną.

Zatem, przekształcając  nierówność

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2$

doszliśmy do nierówności zawsze prawdziwej, co dowodzi, że powyższa nierówność zachodzi dla dowolnych rzeczywistych dodatnich liczb x,y. 

 

Chcemy oszacować wyrażenie

$3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)$  

zauważmy, że korzystając z udowodnionej powyżej własności

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2$

oszacowując "od góry" każde wyrażenie w nawiasie, dostajemy

$3+\underset{\ge 2}{\underbrace{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}}+\underset{\ge 2}{\underbrace{\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)}}+\underset{\ge 2}{\underbrace{\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)}}\ge 3+2+2+2=9$

 

zatem, otrzymujemy że

$\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9$     

czyli nierówność podana w zadaniu jest prawdziwa

 

c.n.d.