Dana jest nierówność

$\left|1-\right|x-20\mid \mid <2$  

Chcąc opuścić znak wartości bezwzględnej, rozważmy przypadki

1)  $x\ge 20$   

2)   $x<20$

Ad.1) 

$x\ge 20$

wtedy

$x-20\ge 0$

czyli otrzymamy

$\left|1-\left(x-20\right)\right|<2$

$\left|1-x+20\right|<2$

$\left|21-x\right|<2$

żeby ponownie opuścić znak wartości bezwzględnej rozważmy

a)   $x\le 21$

wtedy 

$21-x\ge 0$         

czyli po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostaniemy

  $21-x<2\mid -21$   

$-x<-19\mid \cdot \left(-1\right)$

$x>-19$

czyli wiemy, że

$x\ge 20\wedge x\le 21\wedge x>-19$

czyli dostajemy

$x\in ⟨20,21⟩$

b)   $x>21$

wtedy 

$21-x<0$         

czyli po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostaniemy

  $-\left(21-x\right)<2$

$-21+x<2\mid +21$  

$x<23$  

czyli wiemy, że

$x\ge 20\wedge x>21\wedge x<23$

zatem dostajemy

$x\in \left(21,23\right)$

 

czyli gdy

$x\ge 20$

rozwiązaniem jest suma przedziałów

$x\in \left(21,23\right)\cup ⟨20,21⟩$

zatem

$x\in ⟨20,23)$  

 

Ad.2)

$x<20$

wtedy

$21-x<0$         

czyli po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostaniemy

  $\left|1-\left(-\left(x-20\right)\right)\right|<2$

$\left|1+x-20\right|<2$

$\left|x-19\right|<2$

żeby ponownie opuścić znak wartości bezwzględnej rozważmy

a)   $x\ge 19$

wtedy

$x-19\ge 0$

czyli po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej otrzymamy

$x-19<2\mid +19$

$x<21$

czyli wiemy, że 

$x<20\wedge x\ge 19\wedge x<21$   

zatem dostajemy

$x\in ⟨19,21)$

b)   $x<19$

wtedy

$x-19<0$

czyli po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej otrzymamy

$-\left(x-19\right)<2$  

$-x+19<2\mid -19$

$-x<-17\mid \cdot \left(-1\right)$   

$x>17$  

czyli wiemy, że 

$x<20\wedge x<19\wedge x>17$   

zatem dostajemy

$x\in \left(17,19\right)$

 

czyli gdy

$x<20$

rozwiązaniem jest suma przedziałów

$x\in \left(17,19\right)\cup ⟨19,21⟩$  

zatem

$x\in (17,21⟩$  

  

stąd dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów

  $x\in (17,21⟩\cup ⟨20,23)$  

zatem

$x\in \left(17,23\right)$  

 

liczby naturalne spełniające nierówność to

$18,19,20,21,22$  

suma kwadratów tych liczb jest równa

${18}^2+{19}^2+{20}^2+{21}^2+{22}^2=324+361+400+441+484=2010$  

 

Odp. 010.