Przypomnijmy, że dla każdej liczby rzeczywistej a zachodzi

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|$  

---

Dane są zbiory

$K=\left(-4,6\right)$

$R=\left(2,+\infty \right)$

oraz nierówność

$\sqrt{x^2-2x+1}\le 3$

zauważmy, że

$x^2-2x+1={\left(x-1\right)}^2$

czyli nierówność jest postaci

$\sqrt{{\left(x-1\right)}^2}\le 3$

stąd dostajemy

$\left|x-1\right|\le 3$

żeby opuścić znak wartości bezwzględnej rozważmy przypadki

1)  $x\ge 1$    

2)  $x<1$

Ad.1) 

$x\ge 1$

wtedy

$x-1\ge 0$

po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej otrzymamy

$x-1\le 3\mid +1$

$x\le 4$

wiemy, że 

$x\ge 1\wedge x\le 4$

czyli dostajemy

$x\in ⟨1,4⟩$

Ad.2) 

$x<1$

wtedy

$x-1<0$

po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej otrzymamy     

$-\left(x-1\right)\le 3$

$-x+1\le 3\mid -1$

$-x\le 2\mid \cdot \left(-1\right)$

$x\ge -2$

wiemy, że

$x<1\wedge x\ge -2$                

czyli dostajemy

$x\in ⟨-2,1)$

 

rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów

$⟨-2,1)\cup ⟨1,4⟩$

czyli 

$P=⟨-2,4⟩$  

 

wyznaczmy zbiory

  $K\backslash P=\left(-4,-2\right)\cup \left(4,6\right)$   

$\left(K\backslash P\right)\cap R=\left(4,6\right)$  

zatem

$\left[\left(K\backslash P\right)\cap R\right]\cap \mathbb{Z}=5$