a)

$x^2<9x-8$  

 

$x^2-9x+8<0$   

 

Wyznaczmy miejsca zerowe:   

$x^2-9x+8=0$  

 

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=81-32=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$  

 

$x_1=\frac{9+7}{2\cdot 1}=\frac{16}{2}=8$  

 

$x_2=\frac{9-7}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$  

 

Naszkicujmy wykres funkcji  $f\left(x\right)=x^2-9x+8$    :

Interesuje nas zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne:

$x\in \left(1,8\right)$  

 

 

---

b)

$x^2-2x>-30$  

 

$x^2-2x+30>0$  

 

Miejsca zerowe:

$x^2-2x+30=0$  

 

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 30=4-120=-116<0$   - a więc nie mamy miejsc zerowych.

 

Zauważmy, że wykres funkcji  $f\left(x\right)=x^2-2x+30$   ma ramiona skierowane w górę - a więc w całości znajduje się nad osią X, a zatem przyjmuje wartości dodatnie w całej swojej dziedzinie.

$x\in \mathbb{R}$  

 

 

---

c)

  $2x^2-28x+98\le 0$  

 

Miejsca zerowe:

$2x^2-28x+98=0\mid :2$  

 

$x^2-14x+49=0$  

 

${\left(x-7\right)}^2=0$  

 

$x-7=0$  

 

$x=7$  

 

Naszkicujmy wykres funkcji  $f\left(x\right)=2x^2-28x+98$  

 

          

Interesują nas argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie:

$x\in \left\{7\right\}$   

 

 

 

---

d)       

$-4x^2<0$  

 

Naszkicujmy wykres funkcji  $f\left(x\right)=-4x^2$  (jest to parabola symetryczna względem osi X do paraboli opisanej równaniem $y=4x^2)$  :

      

Interesują nas argumenty, dla których funkcja f(x) przyjmuje wartości ujemne. Zauważmy, że funkcja leży pod osią X dla wszystkich argumentów poza liczbą 0 (dla x = 0 wykres leży na osi X).

$x\in \mathbb{R}\text{ }\left\{0\right\}$  

 

 

---

e)

  $x^2-7x+18\ge 6$  

 

$x^2-7x+12\ge 0$  

 

Miejsca zerowe:

$x^2-7x+12=0$  

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$  

$\sqrt{\Delta }=1$  

 

$x_1=\frac{7+1}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4$  

 

$x_2=\frac{7-1}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$  

 

Naszkicujmy wykres funkcji  $f\left(x\right)=x^2-7x+12$   

 

  

Interesuje nas, dla jakich argumentów x funkcja przyjmuje wartości nieujemne:

$x\in (-\infty ,3⟩\cup ⟨4.\infty )$  

 

 

---

f) 

$0\le \left(-x+3\right)\left(2x+1\right)$  

 

Miejsca zerowe:

$0=\left(-x+3\right)\left(2x+1\right)$  

 

$-x+3=0\text{ lub }2x+1=0$  

 

$x=3\text{ lub }2x=-\frac{1}{2}$

 

$x=3\text{ lub }x=-\frac{1}{4}$  

 

Narysujmy wykres funkcji  $f\left(x\right)=\left(-x+3\right)\left(2x+1\right)$   : 

      

Chcemy wyznaczyć argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne:

$x\in ⟨-\frac{1}{2},3⟩$