a)

$x^2-14x+13<0$  

 

Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste spełniające tę nierówność, a następnie z wyznaczonego przedziału wybierzemy liczby pierwsze (liczba pierwsza to liczba, która ma dwa dzielniki - 1 oraz samą siebie).  

 

Wyznaczmy miejsca zerowe:

$x^2-14x+13=0$  

$\Delta ={\left(-14\right)}^2-4\cdot 1\cdot 13=196-52=144$  

$\sqrt{144}=12$  

 

Naszkicujmy wykres funkcji  $f\left(x\right)=x^2-14x+13$  

    

Interesują nas argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne:

$x\in \left(1,13\right)$  

 

Liczby pierwsze należące do tego przedziału to:

$x\in \left\{2,3,5,7,11\right\}$  

 

 

---

b)  

$2x\left(7-x\right)-7\left(7-x\right)\ge 0$  

 

Miejsca zerowe:

$2x\left(7-x\right)-7\left(7-x\right)=0$  

$14x-2x^2-49+7x=0$  

$-2x^2+21x-49=0$   

 

$\sqrt{\Delta }={21}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-49\right)=441-392=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$  

 

$x_1=\frac{-21-7}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-28}{-4}=7$  

 

$x_2=\frac{-21+7}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-14}{-4}=3,5$   

 

Naszkicujmy wykres funkcji  $f\left(x\right)=-2x^2+21x-49$   

        

Interesuje nas, dla jakich wartości funkcja przyjmuje wartości nieujemne:

$x\in ⟨3,5;7⟩$  

 

Liczby pierwsze z tego przedziału to:

$x\in \left\{5,7\right\}$