Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Oznaczmy pole trójkąta ABE jako S.

Odcinek AQ jest prostopadły do boku BE, więc jest to wysokość trójkąta ABE. Kąty BAQ i QAE mają równe miary, więc trójkąt ABE jest równoramienny.

Trójkąt ABQ jest połówką trójkąta ABE, więc jego pole jest równe połowie pola trójkąta ABE:

$P_{\text{ABQ}}=\frac{1}{2}S$  

Analogicznie:

$P_{\text{AQE}}=\frac{1}{2}S$  

Trójkąt ABQ jest równoramienny, więc:

$\left|QE\right|=\left|BQ\right|$  

$\left|EC\right|+x=2x$  

$\left|EC\right|=x$  

AB||CD, więc trójkąty DCE i ABE są podobne na podstawie cechy KKK. Obliczamy skalę podobieństwa tych trójkątów:

$k=\frac{\left|EC\right|}{\left|EA\right|}=\frac{x}{4x}=\frac{1}{4}$  

Stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa, więc:

$\frac{P_{\text{DCE}}}{P_{\text{ABE}}}=k^2$  

$\frac{P_{\text{DCE}}}{S}={\left(\frac{1}{4}\right)}^2$  

$\frac{P_{\text{DCE}}}{S}=\frac{1}{16}\mid \cdot S$  

$P_{\text{DCE}}=\frac{1}{16}S$  

Pole czworokąta AQCD możemy obliczyć jako różnicę pola trójkąta AQE i pola trójkąta DCE:

$P_{\text{AQCD}}=P_{\text{AQE}}-P_{\text{DCE}}=\frac{1}{2}S-\frac{1}{16}S=\frac{8}{16}S-\frac{1}{16}S=\frac{7}{16}S$  

Obliczamy stosunek pola czworokąta AQCD do pola trójkąta ABQ:

$\frac{P_{\text{AQCD}}}{P_{\text{ABQ}}}=\frac{\frac{7}{16}S}{\frac{1}{2}S}=\frac{\frac{7}{16}}{\frac{1}{2}}=\frac{7}{16}\cdot 2=\frac{7}{8}$  

Odp. Stosunek pola czworokąta AQCD do pola trójkąta ABQ wynosi 7:8.