I liceum

I technikum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Zauważmy, że długości środkowych trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa:

Dla trójkąta T1 przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/105443/zEbwFnFhIQr9cA9LmjRS/w%3D%3D_3ceba8d4fa34b5103a726d5cf3c4e31b25f0a81c78188fb7e4fd8dbf6f1ed7cc.jpg" alt="" width="237" height="258"> Mamy dane: PABC​=S &nbsp; <hr> Oznaczmy:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/105388/4TtZdKeLrnsNkYGGEuTC7w%3D%3D_bacfb44220ef1db982c3065208d44c5c90f38d946eb31ab07239ffc6cf9ea89b.jpg" alt="" width="413" height="214"> <hr> Mamy dane: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/55b29ecd1a58770ed9cc3c0e67a423b510a638da629a9a4428780702e1109855_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/55b29ecd1a58770ed9cc3c0e67a423b510a638da629a9a4428780702e1109855_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f80dad5a4bfcb65e228ab123255065c9153d4521ea84ea28015c2d0935f6d9c7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f80dad5a4bfcb65e228ab123255065c9153d4521ea84ea28015c2d0935f6d9c7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> AB||CD, więc trójkąty ABO i CDO są podobne na podstawie cechy KKK. Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta CDO do trójkąta ABO: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eb3bab391c620b5820403d44f0ab49f37092d824ee9dd468eb728695ab91d539_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eb3bab391c620b5820403d44f0ab49f37092d824ee9dd468eb728695ab91d539_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/44e8243f6f7091ec5b9e28922b872ebc188b19b63973594110c5e912911dd28b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/44e8243f6f7091ec5b9e28922b872ebc188b19b63973594110c5e912911dd28b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4de263255c1d1e00320046ba43ca0a51a63c0f1d4fd3686a696484af92720e14_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4de263255c1d1e00320046ba43ca0a51a63c0f1d4fd3686a696484af92720e14_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Z podobieństwa trójkątów ABO i CDO: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0968c6c68accad983e60da01e837b7d799fef8bb03d8e1edee206fa1173abc78_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0968c6c68accad983e60da01e837b7d799fef8bb03d8e1edee206fa1173abc78_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/54c88b22752e0599d6c8c9a119a9fc449eae4af4a2c23765958c6934272a101b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/54c88b22752e0599d6c8c9a119a9fc449eae4af4a2c23765958c6934272a101b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/47c25d7124118dd56aff7f081fb6e16b591230c05318e251fa5a633a6475b6ad_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/47c25d7124118dd56aff7f081fb6e16b591230c05318e251fa5a633a6475b6ad_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4c222eae97bdd59e704c748d21996eb586416ffe885f18eb6a842812bc24fe2e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4c222eae97bdd59e704c748d21996eb586416ffe885f18eb6a842812bc24fe2e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9a2ef18fac89ef675a13bd5305752e65a7d0d773058dd19eb95c797748e3039f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9a2ef18fac89ef675a13bd5305752e65a7d0d773058dd19eb95c797748e3039f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2a7f90e428e4127eb95e8c16bc22149e88fdd96625a83aff833b75bbb3fe0603_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2a7f90e428e4127eb95e8c16bc22149e88fdd96625a83aff833b75bbb3fe0603_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Ze wzoru na pole trójkąta CDO: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8b5addd1fc2e80a6df0d539358a855910815d28d0975353be410401e50ee12ad_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8b5addd1fc2e80a6df0d539358a855910815d28d0975353be410401e50ee12ad_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/54bd9f6df9d7dfc87d2801de246b417a93435f6ca1a3648f8fc854f1f2ed93c1_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/54bd9f6df9d7dfc87d2801de246b417a93435f6ca1a3648f8fc854f1f2ed93c1_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3ccf860e82516bc0a7fbef46fa34c6a003f307fc86c6c8cb76d2e7f4503dc8ed_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3ccf860e82516bc0a7fbef46fa34c6a003f307fc86c6c8cb76d2e7f4503dc8ed_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/78d593f3d806665f158f66dd03eefa592240e7986dd0fc65ee6073bf54787420_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/78d593f3d806665f158f66dd03eefa592240e7986dd0fc65ee6073bf54787420_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Trójkąty ACD i BCD mają tę samą podstawę CD oraz wysokość h opuszczoną na tę podstawę, więc pola tych trójkątów są równe. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/320da5547561d1ebf0f6f9f0d481b158053fced918a9870f7e31775cd5b53d74_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/320da5547561d1ebf0f6f9f0d481b158053fced918a9870f7e31775cd5b53d74_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Pola trójkątów AOD i BOD możemy obliczyć jako różnicę odpowiednio: pola trójkąta ACD i pola trójkąta CDO oraz pola trójkąta BCD i pola trójkąta CDO. Zatem pola tych trójkątów również są równe: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0f1c70e019b78d878c0283caf046fb0784455f34f214bf570b942f9dbecc5a2d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0f1c70e019b78d878c0283caf046fb0784455f34f214bf570b942f9dbecc5a2d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Obliczamy pole trapezu ABCD: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b57b503517aeb75d95ddd9ecfbc162e3b4753d60b6e17c9c2d432f2cebf5ee89_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b57b503517aeb75d95ddd9ecfbc162e3b4753d60b6e17c9c2d432f2cebf5ee89_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Odp. Pole trapezu ABCD jest równe 81.

Dla trójkąta T1 przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/105443/zEbwFnFhIQr9cA9LmjRS/w%3D%3D_3ceba8d4fa34b5103a726d5cf3c4e31b25f0a81c78188fb7e4fd8dbf6f1ed7cc.jpg" alt="" width="237" height="258"> Mamy dane: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8cdc39c521c09710c0d6d8a27f96820558da6a0e1e999aa78639425d339de5d8_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8cdc39c521c09710c0d6d8a27f96820558da6a0e1e999aa78639425d339de5d8_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Oznaczmy:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/105448/fj5d%2BggoJqv4RDkGRmL8nQ%3D%3D_3506e7e18f2b41482175f1c3ed59a4c888eafa1da91774c02bde5e5ffd29e6e2.jpg" alt="" width="287" height="281"> <hr> Oznaczmy pole trójkąta ABE jako S. <hr> Odcinek AQ jest prostopadły do boku BE, więc jest to wysokość trójkąta ABE. Kąty BAQ i QAE mają równe miary, więc trójkąt ABE jest równoramienny. <hr> Trójkąt ABQ jest połówką trójkąta ABE, więc jego pole jest równe połowie pola trójkąta ABE: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/96d55fc5d8b32d3c3aee548da8abb4cb7f1d9f98090efde6f8c540447455410f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/96d55fc5d8b32d3c3aee548da8abb4cb7f1d9f98090efde6f8c540447455410f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Analogicznie: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3ab2602a7ceca34898d51c6c2a72d333d689a30b59d5c23afe17b4e8fa6dcfcc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3ab2602a7ceca34898d51c6c2a72d333d689a30b59d5c23afe17b4e8fa6dcfcc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Trójkąt ABQ jest równoramienny, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2c0e4f53ae5d710ec2f4d3a4975d136066237edd938d9d3aa207d230ae3cf903_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2c0e4f53ae5d710ec2f4d3a4975d136066237edd938d9d3aa207d230ae3cf903_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/48206b2b7550d10a2b4c1e6052eaf91364c4be175eb1fd280ab7df2610f12e58_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/48206b2b7550d10a2b4c1e6052eaf91364c4be175eb1fd280ab7df2610f12e58_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/177c54fb20b6e584b2606076113c34a8ca961c7b9c1a98d17a9c47fd12182242_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/177c54fb20b6e584b2606076113c34a8ca961c7b9c1a98d17a9c47fd12182242_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> AB||CD, więc trójkąty DCE i ABE są podobne na podstawie cechy KKK. Obliczamy skalę podobieństwa tych trójkątów: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ba36a62a9c76b22cb96b0513b5bbc26fa13b40dc2adafb98b0868ebdda6a9bcd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ba36a62a9c76b22cb96b0513b5bbc26fa13b40dc2adafb98b0868ebdda6a9bcd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ed3b8cb65c6cb80fcc6bc6c040154aa4132df86927f29719e0e4bae468d85709_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ed3b8cb65c6cb80fcc6bc6c040154aa4132df86927f29719e0e4bae468d85709_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7a9ee2f13a97f4ec891f917c89a0aa09375f19ec53641edd570db3138c22fc23_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7a9ee2f13a97f4ec891f917c89a0aa09375f19ec53641edd570db3138c22fc23_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/27be305665f414efc95be5c1c665df362435b2899cff4d55543a9b69366446d4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/27be305665f414efc95be5c1c665df362435b2899cff4d55543a9b69366446d4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/69e8449eb6fbd4dfdefb0d03fd08028fdbe13b96b7a704cedd41a7b4a0290e6e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/69e8449eb6fbd4dfdefb0d03fd08028fdbe13b96b7a704cedd41a7b4a0290e6e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Pole czworokąta AQCD możemy obliczyć jako różnicę pola trójkąta AQE i pola trójkąta DCE: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5f12f9d70e22622679947595c7eeb9cdd507a2443d9bb2421d760fa5788b351b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5f12f9d70e22622679947595c7eeb9cdd507a2443d9bb2421d760fa5788b351b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Obliczamy stosunek pola czworokąta AQCD do pola trójkąta ABQ: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cffd017627989e85bb6ea57433fb7babdd5febafce87980021824c9271663d64_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cffd017627989e85bb6ea57433fb7babdd5febafce87980021824c9271663d64_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Odp. Stosunek pola czworokąta AQCD do pola trójkąta ABQ wynosi 7:8.

Komentarze