I liceum

I technikum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Jeżeli rozwiązaniem układu równań jest para liczb <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20201201/297460a8-a1be-4fcb-ab65-ac9f3d3ad2a9_small.svg" type="image/svg+xml"></object>, to:

Podany układ równań ma być spełniony przez parę liczb przeciwnych.
Weźmy dowolną parę liczb przeciwnych i podstawy te liczby do podanych równań w miejsce <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/e27debd8-8ccd-4422-ad3d-d151c6fa5d4e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/64504d30-01d8-4cff-9a3e-dd135608172f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - czas jazdy pod górę [h]
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/1321f7d5-f432-42a1-8a09-92971ad47666_small.svg" type="image/svg+xml"></object> - czas jazdy w dół [h]
 Trasę długości 300 km przejechano w czasie 6 godzi, zatem:  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/3edd9943-d3f3-4058-b47a-129bdc0d6753_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/b71f9a0b-029d-46b3-88b5-7d12aa11364e_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Wiemy, że pod górę jechano ze średnią prędkością 48 km/h, a w dół - ze średnią prędkością 54 km/h. Możemy więc zapisać:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/5a7fad5c-0ed4-4ec0-a1f6-fa8e7a2d7e5c_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/5a7fad5c-0ed4-4ec0-a1f6-fa8e7a2d7e5c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/1b896321-adf1-433d-967e-f48946d1961d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
 Oba te równania możemy zapisać za pomocą układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/5d5a4b96-d314-438d-b135-d72a2238ecee_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/5d5a4b96-d314-438d-b135-d72a2238ecee_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Przypuśćmy, że iloczyn <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/399a0bda-b9a1-4db0-9827-8cadc25f7e0d_small.svg" type="image/svg+xml"></object> jest dodatni (nie sprawdzamy przypadku, gdy iloczyn ten jest równy 0, bo wiemy, że liczby <object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/d7b5430c-1bd4-451e-ab11-6dc20b436183_small.svg" type="image/svg+xml"></object> są różne od zera).
Iloczyn dwóch liczb jest dodatni, jeśli obie liczby są ujemne lub obie są dodatnie. 
Rozważymy dwa przypadki:

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Przypuśćmy, że układ równań jest spełniony przez parę liczb całkowitych. 
 <object class="big" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/9d178e46-532f-4218-88c5-e318386276ea_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/math_images/20191010/9d178e46-532f-4218-88c5-e318386276ea_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Komentarze