Proste $y=a_{1}x+b_{1}iy=a_{2}x+b_2$  są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_1=a_2$  

$\text{a)}$  

Dwie proste nie mają punktów wspólnych tylko wtedy, gdy są równoległe i nie pokrywają się.

Proste $f\text{i}g$  będą równoległe, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych będą takie same. 

$f\left(x\right)=\underline{\left(a+1\right)}x-2a+1$  

$g\left(x\right)=\underline{\left(2a-3\right)}+a-4$  

Zatem:

$a+1=2a-3\mid -a$  

$1=a-3\mid +3$  

$a=4$  

Musimy jeszcze wykluczyć przypadek, gdy proste te pokrywają się. 

$f\left(x\right)=\left(a+1\right)x\underline{\underline{-2a+1}}$  

$g\left(x\right)=\left(2a-3\right)+\underline{\underline{a-4}}$  

Stąd:

$-2a+1\ne a-4\mid +2a$  

$1\ne 3a-4\mid +4$  

$5\ne 3a\mid :3$  

$\frac{5}{3}\ne a$  

Proste  $f\text{i}g$  nie będą miały punktów wspólnych, gdy:

$a=4$  

---

$\text{b)}$  

Dwie proste nie mają punktów wspólnych tylko wtedy, gdy są równoległe i nie pokrywają się.

Proste $f\text{i}g$  będą równoległe, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych będą takie same. 

$f\left(x\right)=\underline{2a-1}x-2a$  

$g\left(x\right)=\underline{\left(a+3\right)}+a-12$  

Zatem:

$2a-1=a+3\mid -a$  

$a-1=3\mid +1$  

$a=4$  

Musimy jeszcze wykluczyć przypadek, gdy proste te pokrywają się. 

$f\left(x\right)=2a-1x\underline{\underline{-2a}}$  

$g\left(x\right)=\left(a+3\right)+\underline{\underline{a-12}}$  

Stąd:

$-2a\ne a-12\mid +2a$  

$0\ne 3a-12\mid +12$  

$12\ne 3a\mid :3$  

$a\ne 4$  

Nie ma takiego  $a$ , by proste  $f\text{i}g$  nie miały punktów wspólnych.

---

$\text{c)}$  

Dwie proste nie mają punktów wspólnych tylko wtedy, gdy są równoległe i nie pokrywają się.

Proste $f\text{i}g$  będą równoległe, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych będą takie same. 

$f\left(x\right)=a-1+2ax=\underline{2a}x+a-1$  

$g\left(x\right)=\underline{\left(a+2\right)}x+2$  

Zatem:

$2a=a+2\mid -a$  

$a=2$  

Musimy jeszcze wykluczyć przypadek, gdy proste te pokrywają się. 

$f\left(x\right)=a-1+2ax=2ax+\underline{\underline{a-1}}$  

$g\left(x\right)=\left(a+2\right)x+\underline{\underline{2}}$  

Stąd:

$a-1\ne 2\mid +1$  

$a\ne 3$  

Proste  $f\text{i}g$  nie będą miały punktów wspólnych, gdy:

$a=2$  

---

$\text{d)}$  

Dwie proste nie mają punktów wspólnych tylko wtedy, gdy są równoległe i nie pokrywają się.

Proste $f\text{i}g$  będą równoległe, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych będą takie same. 

$f\left(x\right)=\sqrt{2}x-x+a-3=\underline{\left(\sqrt{2}-1\right)}x+a-3$  

$g\left(x\right)=\frac{x-a\sqrt{2}-a}{1+\sqrt{2}}=\left(\underline{\frac{1}{1+\sqrt{2}}}\right)x-\frac{a\sqrt{2}+a}{1+\sqrt{2}}$  

Sprawdzamy, czy zachodzi równość:

$\sqrt{2}-1=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$  

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)}=\frac{1-\sqrt{2}}{1^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=$  

$=-\left(1-\sqrt{2}\right)=-1+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$  

Oznacza to, że proste  $f\text{i}g$  są równoległe, gdy  $a$  jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Musimy jeszcze wykluczyć przypadek, gdy proste te pokrywają się. 

$f\left(x\right)=\sqrt{2}x-x+a-3=\left(\sqrt{2}-1\right)x+\underline{\underline{a-3}}$  

$g\left(x\right)=\frac{x-a\sqrt{2}-a}{1+\sqrt{2}}=\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}\right)x\underline{\underline{-\frac{a\sqrt{2}+a}{1+\sqrt{2}}}}$  

Stąd:

$a-3\ne -\frac{a\sqrt{2}+a}{1+\sqrt{2}}\mid \cdot \left(1+\sqrt{2}\right)$  

$\left(a-3\right)\left(1+\sqrt{2}\right)\ne -\left(a\sqrt{2}+a\right)$  

$a+a\sqrt{2}-3-3\sqrt{2}\ne -a\sqrt{2}-a\mid +a$  

$2a+a\sqrt{2}-3-3\sqrt{2}\ne -a\sqrt{2}\mid +a\sqrt{2}$  

$2a+2a\sqrt{2}-3-3\sqrt{2}\ne 0\mid +3$  

$2a+2a\sqrt{2}-3\sqrt{2}\ne 3\mid +3\sqrt{2}$  

$2a+2a\sqrt{2}\ne 3+3\sqrt{2}$  

$2a\left(1+\sqrt{2}\right)\ne 3\left(1+\sqrt{2}\right)\mid :\left(1+\sqrt{2}\right)$  

$2a=3\mid :2$  

$a=\frac{3}{2}$  

Proste  $f\text{i}g$  nie będą miały punktów wspólnych, gdy:

$a\in \mathbb{R}\text{}\left\{\frac{3}{2}\right\}$