Wyznaczmy środek oraz promień okręgu na podstawie równania okręgu.

$S_1\left(0,0\right),r_1=2$  

Wyznaczmy równanie prostej k w postaci kierunkowej:

$y=-2$  

 

Rysunek pomocniczy:

Załóżmy, że punkt P(x,y) jest środkiem okręgu stycznego zewnętrznie do narysowanego okręgu i do prostej y=-2.

Odległość punktu S₁ od punktu P wynosi:

$\left|S_{1}P\right|=\sqrt{{\left(x-0\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$  

Odległość punktu P od prostej y=-2, czyli promień szukanego okręgu wynosi:

$r_2=y-\left(-2\right)=y+2$  

 

Okręgi są styczne zewnętrznie, jeśli spełniony jest warunek:

$\left|S_{1}P\right|=r_1+r_2$  

Zatem otrzymujemy:

$\sqrt{x^2+y^2}=2+y+2$  

$\sqrt{x^2+y^2}=y+4{\mid }^2$  

$x^2+y^2={\left(y+4\right)}^2$  

$x^2+y^2=y^2+8y+16\mid -y^2$  

$x^2=8y+16\mid -16$  

$x^2-16=8y\mid :8$  

$\underline{\underline{\frac{1}{8}{x}^2-2=y}}$