Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że promień tego okręgu będzie najmniejszy, gdy będzie należał do prostej prostopadłej do prostej k.

Równanie prostej k w postaci kierunkowej:

$4x+3y-38=0$  

$3y=-4x+38\mid :3$  

$y=-\frac{4}{3}x+\frac{38}{3}$  

Prosta prostopadła do prostej k jest postaci:

$y=\frac{3}{4}x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu S(-3,0) otrzymujemy:

$0=\frac{3}{4}\cdot \left(-3\right)+b$  

$0=-\frac{9}{4}+b$  

$\frac{9}{4}=b$  

$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$  

 

Wyznaczmy punkt przecięcia prostej k i prostej do niej prostopadłej.

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{3}x+\frac{38}{3}\\ y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}\end{array}$  

$-\frac{4}{3}x+\frac{38}{3}=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}\mid \cdot 12$  

$-16x+152=9x+27\mid +16x-27$  

$125=25x\mid :25$  

$5=x$  

Wyznaczmy y.

$y=\frac{3}{4}\cdot 5+\frac{9}{4}$  

$y=\frac{15}{4}+\frac{9}{4}$  

$y=\frac{24}{4}$  

$y=6$  

Punkt ten ma współrzędne  $A\left(5,6\right)$  

 

Wyznaczmy punkt przecięcia okręgu o i prostej prostopadłej do k (interesuje nas większy z argumentów - można to zauważyć na rysunku).

$\{\begin{array}{l}{x}^2+6x+9+y^2=25\\ y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}\end{array}$  

$x^2+6x+9+{\left(\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}\right)}^2=25$  

$x^2+6x+9+{\left(\frac{3}{4}\left(x+3\right)\right)}^2=25$  

$x^2+6x+9+\frac{9}{16}\left(x^2+6x+9\right)=25$  

$\frac{25}{16}\left(x^2+6x+9\right)=25\mid :\frac{25}{16}$  

$x^2+6x+9=16\mid -16$  

$x^2+6x-7=0$  

$\Delta =6^2-4\cdot 1\cdot \left(-7\right)=36+28=64$  

$x_1=\frac{-6-8}{2}=\frac{-14}{2}=-7$  

$x_2=\frac{-6+8}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Obliczmy y.

$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$  

$y=\frac{3}{4}+\frac{9}{4}$  

$y=\frac{12}{4}$  

$y=3$  

Punkt ten ma współrzędne  $B\left(1,3\right)$  

 

Zauważmy, że odcinek AB to średnica szukanego okręgu.

Wyznaczmy środek tego okręgu, czyli środek odcinka AB.

$S=\left(\frac{5+1}{2},\frac{6+3}{2}\right)$  

$S=\left(3,4\frac{1}{2}\right)$  

Wyznaczmy promień tego okręgu.

$\left|BS\right|=\sqrt{{\left(3-1\right)}^2+{\left(4\frac{1}{2}-3\right)}^2}=\sqrt{2^2+{\left(1\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{4+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{4+2\frac{1}{4}}=\sqrt{6\frac{1}{4}}$  

Równanie szukanego okręgu:

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\frac{1}{2}\right)}^2={\sqrt{6\frac{1}{4}}}^2$  

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\frac{1}{2}\right)}^2=6\frac{1}{4}$