a)

Obliczymy najmniejszą i największą wartość funkcji 

$f\left(x\right)=-x^2+5x$  

w przedziale <-1; 1>.

Obliczmy współrzędne wierzchołka tej paraboli.

Otrzymamy

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}=2,5$

Zauważmy, że

$x_w=2,5\notin ⟨-1,1⟩$  

Wystarczy więc, że porównamy dwie wartości f(-1) i f(1). 

Otrzymujemy

$f\left(-1\right)=-{\left(-1\right)}^2+5\cdot \left(-1\right)=-1-5=-6$

$f\left(1\right)=-1^2+5\cdot 1=-1+5=4$

zatem

$f\left(-1\right)<f\left(1\right)$

czyli w rozważanym przedziale

$y_{\min }=f\left(-1\right)=-6$

$y_{\max }=f\left(1\right)=4$

---

b)

Obliczymy najmniejszą i największą wartość funkcji 

$f\left(x\right)=2x^2-3x+4$  

w przedziale <-1; 0>.

Obliczmy współrzędne wierzchołka tej paraboli.

Otrzymamy

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{4}=\frac{3}{4}$

Zauważmy, że

$x_w=\frac{3}{4}\notin ⟨-1,0⟩$  

Wystarczy więc, że porównamy dwie wartości f(-1) i f(0). 

Otrzymujemy

$f\left(-1\right)=2{\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)+4=2+3+4=9$

$f\left(0\right)=4$

zatem

$f\left(0\right)<f\left(-1\right)$

czyli w rozważanym przedziale

$y_{\min }=f\left(0\right)=4$

$y_{\max }=f\left(-1\right)=9$

---

c)

Obliczymy najmniejszą i największą wartość funkcji 

$f\left(x\right)=3\left(x+3\right)\left(x-1\right)$  

w przedziale <-2; 0>.

Z postaci iloczynowej funkcji f odczytajmy miejsca zerowe tej funkcji. 

Są nimi liczby

$x_1=-3,x_2=1$  

Obliczmy współrzędne wierzchołka tej paraboli.

Dostajemy

$x_w=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+1}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$y_w=f\left(x_w\right)=f\left(-1\right)=3\left(-1+3\right)\left(-1-1\right)=3\cdot 2\cdot \left(-2\right)=-12$

Zauważmy, że

$x_w=-1\in ⟨-2,0⟩$  

Musimy więc porównać wartości f(-1) f(-2) i f(0). 

Obliczmy f(-2) i f(0).

Otrzymujemy

$f\left(-2\right)=3\left(-2+3\right)\left(-2-1\right)=-9$

$f\left(0\right)=3\left(0+3\right)\left(0-1\right)=3\cdot 3\cdot \left(-1\right)=-9$

zatem

$f\left(-1\right)<f\left(-2\right)=f\left(0\right)$

czyli w rozważanym przedziale

$y_{\min }=f\left(-1\right)=-12$

$y_{\max }=f\left(-2\right)=f\left(0\right)=-9$

---

d)

Obliczymy najmniejszą i największą wartość funkcji 

$f\left(x\right)=5\left(x+3\right)\left(x+5\right)$  

w przedziale <-2; -1>.

Z postaci iloczynowej funkcji f odczytajmy miejsca zerowe tej funkcji. 

Są nimi liczby

$x_1=-3,x_2=-5$  

Obliczmy współrzędne wierzchołka tej paraboli.

Dostajemy

$x_w=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+\left(-5\right)}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

Zauważmy, że

$x_w=-4\notin ⟨-2,-1⟩$  

Wystarczy więc, że porównamy dwie wartości f(-2) i f(-1). 

Otrzymujemy

$f\left(-2\right)=5\left(-2+3\right)\left(-2+5\right)=5\cdot 1\cdot 3=15$

$f\left(-1\right)=5\left(-1+3\right)\left(-1+5\right)=5\cdot 2\cdot 4=40$

zatem

$f\left(-2\right)<f\left(-1\right)$

czyli w rozważanym przedziale

$y_{\min }=f\left(-2\right)=15$

$y_{\max }=f\left(-1\right)=40$

---

e)

Obliczymy najmniejszą i największą wartość funkcji 

$f\left(x\right)=2{\left(x-2\right)}^2+4$  

w przedziale <0; 3>.

Z postaci kanonicznej funkcji f odczytajmy współrzędne wierzchołka tej funkcji.

Otrzymujemy

$W=\left(2,4\right)$

zauważmy, że

$x_w=2\in ⟨0,3⟩$

Musimy więc porównać wartości f(0) f(3) i f(2). 

Obliczmy f(0) i f(3).

Otrzymujemy

$f\left(0\right)=2{\left(0-2\right)}^2+4=2\cdot 4+4=12$

$f\left(3\right)=2{\left(3-2\right)}^2+4=2\cdot 1+4=6$

zatem

$f\left(2\right)<f\left(3\right)=f\left(0\right)$

czyli w rozważanym przedziale

$y_{\min }=f\left(2\right)=4$

$y_{\max }=f\left(0\right)=12$

---

f)

Obliczymy najmniejszą i największą wartość funkcji 

$f\left(x\right)={\left(x+3\right)}^2-3$  

w przedziale <-2; 2>.

Z postaci kanonicznej funkcji f odczytajmy współrzędne wierzchołka tej funkcji.

Otrzymujemy

$W=\left(-3,-3\right)$

zauważmy, że

$x_w=-3\notin ⟨-2,2⟩$

Wystarczy więc, że porównamy dwie wartości f(-2) i f(2). 

Otrzymujemy

$f\left(-2\right)={\left(-2+3\right)}^2-3=1-3=-2$

$f\left(2\right)={\left(2+3\right)}^2-3=25-3=22$

zatem

$f\left(-2\right)<f\left(2\right)$

czyli w rozważanym przedziale

$y_{\min }=f\left(-2\right)=-2$

$y_{\max }=f\left(2\right)=22$