$\text{I}.$  

$2-\left|x+1\right|\le 2\left|+\right|x+1\mid$  

$2\le 2+\left|x+1\right|\mid -2$  

$0\le \left|x+1\right|$  

Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest liczbą nieujemną, więc powyższa nierówność jest spełniona przez dowolną liczbę rzeczywistą  $x$ .

---

$\text{II}.$  

$\left|x\right|\ge x$  

Powyższa nierówność jest spełniona przez dowolną liczbę rzeczywistą  $x$ .

---

$\text{III}.$  

$2\left|x\right|+3<3\mid -3$  

$2\left|x\right|<0\mid :2$  

$\left|x\right|<0$  

Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest liczbą nieujemną, więc powyższa nierówność jest sprzeczna.

---

$\text{IV}.$  

$\left|5x-2\right|>2$  

$5x-2>2\text{lub}5x-2<-2$  

1.

$5x-2>2\mid +2$  

$5x>4\mid :5$  

$x>\frac{4}{5}$  

2.

$5x-2<-2\mid +2$  

$5x<0\mid :5$  

$x<0$  

Zatem:

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{4}{5},+\infty \right)$  

Nierówność nie jest spełniona przez dowolną liczbę rzeczywistą  $x$ .

---

$\text{V}.$  

$\left|6x-7\right|\le \left|7-6x\right|$  

1.  $6x\ge 7$  

$6x-7\le 6x-7\mid -6x$  

$-7\le -7\mid +7$  

$0\le 0$  

Nierówność spełniona jest przez dowolną liczbę rzeczywistą  $x$ , czyli:

$x\in \mathbb{R}$  

2.  $6x<7$  

$7-6x\le 7-6x\mid +6x$  

$7\le 7\mid -7$  

$0\le 0$  

Nierówność spełniona jest przez dowolną liczbę rzeczywistą  $x$ , czyli:

$x\in \mathbb{R}$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}$  

---

$\text{VI}.$  

$\left|\left|x-\sqrt{3}\right|+2\right|>0$  

$\left|x-\sqrt{3}\right|+2>0\text{lub}\left|x-\sqrt{3}\right|+2<0$  

1.

$\left|x-\sqrt{3}\right|+2>0\mid -2$   

$\left|x-\sqrt{3}\right|>-2$   

Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest liczbą nieujemną, więc powyższa nierówność jest spełniona przez dowolną liczbę rzeczywistą  $x$ , czyli:

$x\in \mathbb{R}$  

2.

$\left|x-\sqrt{3}\right|+2<0\mid -2$   

$\left|x-\sqrt{3}\right|<-2$   

Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest liczbą nieujemną, więc powyższa nierówność jest sprzeczna, czyli:

$x\in \varnothing$  

Mamy więc:

$x\in \mathbb{R}$