$\text{a)}$  

$m{x}^2+\left(m+1\right)x+m-1=0$  

Przypadek I.

Dla m=0 otrzymujemy:

$0x^2+x-1=0$  

$x=1$  

Zatem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.

 

Przypadek II.

Dla m≠0 otrzymujemy:

$\Delta ={\left(m+1\right)}^2-4\cdot m\cdot \left(m-1\right)$  

$\Delta =m^2+2m+1-4m^2+4m$  

$\Delta =-3m^2+6m+1$  

Równanie ma dwa rozwiązania, gdy  $\Delta >0.$  

Zatem:

$-3m^2+6m+1>0$

${\Delta }_m=6^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 1=36+12=48$    

$\sqrt{{\Delta }_m}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$  

$m_1=\frac{-6-4\sqrt{3}}{-6}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$  

$m_2=\frac{-6+4\sqrt{3}}{-6}=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$  

$m\in \left(\frac{3-2\sqrt{3}}{3},\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\right)\text{}\left\{0\right\}$  

 

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy  $\Delta =0.$  

Zatem:

$-3m^2+6m+1=0$  

$m_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$  

$m_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$  

 

Równanie nie ma rozwiązań, gdy  $\Delta <0.$  

Zatem:

$-3m^2+6m+1<0$  

$m\in \left(-\infty ,\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$  

 

Zatem ostatecznie mamy:

Brak rozwiązań dla  $m\in \left(-\infty ,\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$  

Dokładnie jedno rozwiązanie dla  $m\in \left\{\frac{3-2\sqrt{3}}{3},0,\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\right\}$  

Dwa rozwiązania dla  $m\in \left(\frac{3-2\sqrt{3}}{3},\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\right)\text{}\left\{0\right\}$  

---

$\text{b)}$  

$\left(m-1\right)x^2+mx+m+2=0$  

Przypadek I.

Dla m=1 otrzymujemy:

$0x^2+x+3=0$  

$x=-3$  

Zatem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.

 

Przypadek II.

Dla m≠1 otrzymujemy:

$\Delta =m^2-4\left(m-1\right)\left(m+2\right)$  

$\Delta =m^2-4\left(m^2+2m-m-2\right)$  

$\Delta =m^2-4m^2-4m+8$  

$\Delta =-3m^2-4m+8$  

Równanie ma dwa rozwiązania, gdy  $\Delta >0.$  

Zatem:

$-3m^2-4m+8>0$  

${\Delta }_m={\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 8=16+96=112$  

$\sqrt{{\Delta }_m}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$  

$m_1=\frac{4-4\sqrt{7}}{-6}=\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}$  

$m_2=\frac{4+4\sqrt{7}}{-6}=\frac{-2-2\sqrt{7}}{3}$  

$m\in \left(\frac{-2-2\sqrt{7}}{3},\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}\right)\text{}\left\{1\right\}$  

 

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy  $\Delta =0.$  

Zatem:

$-3m^2-4m+8=0$  

$m_1=\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}$  

$m_2=\frac{-2-2\sqrt{7}}{3}$  

 

Równanie nie ma rozwiązań, gdy  $\Delta <0.$  

Zatem:

$-3m^2-4m+8<0$  

$m\in \left(-\infty ,\frac{-2-2\sqrt{7}}{3}\right)\cup \left(\frac{-2+2\sqrt{7}}{3},+\infty \right)$  

 

Zatem ostatecznie mamy:

Brak rozwiązań dla  $m\in \left(-\infty ,\frac{-2-2\sqrt{7}}{3}\right)\cup \left(\frac{-2+2\sqrt{7}}{3},+\infty \right)$  

Dokładnie jedno rozwiązanie dla  $m\in \left\{\frac{-2-2\sqrt{7}}{3},1,\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}\right\}$  

Dwa rozwiązania dla  $m\in \left(\frac{-2-2\sqrt{7}}{3},\frac{-2+2\sqrt{7}}{3}\right)\text{}\left\{1\right\}$