a) Sprawdźmy kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania.
Δ>0
(−(m+3))2−4⋅2⋅2>0
m2+6m+9−16>0
m2+6m−7>0
Δm=62−4⋅1⋅(−7)=36+28=64
m1=2−6−8=2−14=−7
m2=2−6+8=22=1
m∈(−∞,−7)∪(1,+∞)
∣x1−x2∣=1,5
(x1−x2)2=1,5
x12−2x1x2+x22=1,5 ∣2
x12−2x1x2+x22=49
(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2=49
(x1+x2)2−4x1x2=49
(−ab)2−4⋅ac=49
(2m+3)2−4⋅22=49
4(m+3)2−4=49 ∣⋅4
(m+3)2−16=9 ∣−9
(m+3)2−25=0
(m+3−5)(m+3+5)=0
(m−2)(m+8)=0
m−2=0 lub m+8=0
m=2 lub m=−8
b) Sprawdźmy kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania.
Δ>0
(−(3p+2))2−4⋅2⋅12>0
9p2+12p+4−96>0
9p2+12p−92>0
Δp=122−4⋅9⋅(−92)=144+3312=3456
Δp=3456=16⋅36⋅6=4⋅66=246
p1=18−12−246=3−2−46
p2=18−12+246=3−2+46
p∈(−∞,3−2−46)∪(3−2+46,+∞)
∣x1−x2∣=1
(x1−x2)2=1
x12−2x1x2+x22=1 ∣2
x12−2x1x2+x22=1
(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2=1
(x1+x2)2−4x1x2=1
(−ab)2−4⋅ac=1
(23p+2)2−4⋅212=1
4(3p+2)2−24=1
4(3p+2)2−25=0 ∣⋅4
(3p+2)2−100=0
9p2+12p+4−100=0
9p2+12p−96=0 ∣:3
3p2+4p−32=0
Δ=42−4⋅3⋅(−32)=16+384=400
p1=6−4−20=6−24=−4
p2=6−4+20=616=38=232
c) Sprawdźmy kiedy równanie ma dwa różne rozwiązania.
Δ>0
m2−4⋅1⋅(m−1)>0
m2−4m+4>0
(m−2)2>0
m∈R−{2}
∣x1−x2∣<1
(x1−x2)2<1
x12−2x1x2+x22<1 ∣2
x12−2x1x2+x22<1
(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2<1
(x1+x2)2−4x1x2<1
(−ab)2−4⋅ac<1
(−m)2−4⋅(m−1)<1
m2−4m+4−1<0
m2−4m+3<0
Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4
m1=24−2=22=1
m2=24+2=26=3
m∈(1,3)
Uwzględniając założenie otrzymujemy:
m∈(1,2)∪(2,3)
d) Sprawdźmy kiedy równanie ma dwa rozwiązania.
Δ>0
(p+2)2−4⋅1⋅(p+3)>0
p2+4p+4−4p−12>0
p2−8>0
(p−8)(p+8)>0
p∈(−∞,−8)∪(8,+∞)
Równanie ma dwa różne ujemne rozwiązania, gdy:
x1⋅x2>0
ac>0
p+3>0
p>−3
p∈(−3,+∞)
oraz
x1+x2<0
−ab<0
−(p+2)<0
p+2>0
p>−2
Uwzględniając poprzednie założenie:
p∈(8,+∞)
∣x1−x2∣>1
(x1−x2)2>1
x12−2x1x2+x22>1 ∣2
x12−2x1x2+x22>1
(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2>1
(x1+x2)2−4x1x2>1
(−ab)2−4⋅ac>1
(−(p+2))2−4(p+3)>1
p2+4p+4−4p−12>1
p2−9>0
(p−3)(p+3)>0
p∈(−∞,−3)∪(3,+∞)
Uwzględniając założenie otrzymujemy:
p∈(3,+∞)
