$-2x^2+\left(k+1\right)x-2k>0$  

$\Delta ={\left(k+1\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-2k\right)=k^2+2k+1-16k=k^2-14k+1$  

Zauważmy, że ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem jeśli funkcja nie ma miejsc zerowych to nierówność nie ma rozwiązań. 

Sprawdźmy, kiedy $\Delta >0.$  

${\Delta }_k={\left(-14\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=196-4=192$  

$\sqrt{{\Delta }_k}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$  

$k_1=\frac{14-8\sqrt{3}}{2}=7-\sqrt{3}$  

$k_2=\frac{14+8\sqrt{3}}{2}=7+\sqrt{3}$  

$k\in \left(-\infty ,7-\sqrt{3}\right)\cup \left(7+\sqrt{3},+\infty \right)$  

 

Wyznaczmy miejsca zerowe tej paraboli.

$x_1=\frac{-\left(k+1\right)-\sqrt{k^2-14k+1}}{-4}=\frac{k+1+\sqrt{k^2-14k+1}}{4}$  

$x_2=\frac{-\left(k+1\right)+\sqrt{k^2-14k+1}}{-4}=\frac{k+1-\sqrt{k^2-14k+1}}{4}$  

Ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem zbiór rozwiązań nierówności to:

$x\in \left(x_2,x_1\right)$  

Wobec tego wystarczy, by $x_2\ge 0$  

$\frac{k+1-\sqrt{k^2-14k+1}}{4}\ge 0\mid \cdot 4$  

$k+1-\sqrt{k^2-14k+1}\ge 0\mid +\sqrt{k^2-14k+1}$  

$k+1\ge \sqrt{k^2-14k+1}{\mid }^2$  

${\left(k+1\right)}^2\ge k^2-14k+1$  

$k^2+2k+1\ge k^2-14k+1\mid$  

$16k\ge 0$  

$k\ge 0$  

 

Zatem ostatecznie otrzymujemy:

$k\in ⟨0,7-\sqrt{3})\cup \left(7+\sqrt{3},+\infty \right)$