$\text{a)}$  

$-2x^2+\left(k-1\right)x-k\ge 0$  

Ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem podana nierówność nie ma rozwiązań, gdy nie istnieją miejsca zerowe.

$\Delta <0$  

${\left(k-1\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-k\right)<0$  

$k^2-2k+1-8k<0$  

$k^2-10k+1<0$  

${\Delta }_k={\left(-10\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=100-4=96$  

$\sqrt{{\Delta }_k}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$  

$k_1=\frac{10-4\sqrt{6}}{2}=5-2\sqrt{6}$  

$k_2=\frac{10+4\sqrt{6}}{2}=5+2\sqrt{6}$  

Zatem rozwiązaniem nierówności jest:

$k\in \left(5-2\sqrt{6},5+2\sqrt{6}\right)$  

---

$\text{b)}$  

$\left(k-2\right)x^2+2kx+k+5>0$  

Przypadek I.

Dla k=2 otrzymujemy:

$0x^2+2\cdot 2x+2+5>0$  

$4x+7>0$  

Zatem nierówność ma rozwiązania.

 

Przypadek II.

Dla k>2 ramiona paraboli są skierowane w górę. Jeśli ramiona paraboli są skierowane w górę, to warunki zadania nie są spełnione, bo niezależnie od ilości miejsc zerowych funkcja nie będzie znajdować się całkowicie poniżej osi x.

 

Przypadek III.

Dla k<2 ramiona paraboli są skierowane w dół. Jeśli ramiona paraboli są skierowane w dół, to wystarczy by nie było miejsc zerowych, i nierówność będzie nie będzie miała rozwiązań, ponieważ wykres funkcji y=(k-2)x²+2kx+k+5 będzie znajdował się pod osią x.

$\Delta <0$  

${\left(2k\right)}^2-4\left(k-2\right)\left(k+5\right)<0$  

$4k^2-4\left(k^2+5k-2k-10\right)<0$  

$4k^2-4k^2-20k+8k+40<0$  

$-16k+40<0\mid :\left(-4\right)$  

$4k-10>0$  

$4k>10$  

$k>\frac{10}{4}$  

$k>\frac{5}{2}$  

$k>2\frac{1}{2}\notin \left(-\infty ,2\right)$  

Zatem otrzymujemy sprzeczność z założeniem.

 

Zatem ostatecznie:

Nie istnieje k spełniające warunki zadania.