$\text{a)}$  

Zał: x,h>0 ponieważ są to długości odpowiednio: boku i wysokości trójkąta.

Wyznaczmy wysokość trójkąta równoramiennego, korzystając z tw. Pitagorasa.

$5^2+h^2=x^2$  

$25+h^2=x^2$  

$h^2=x^2-25$  

$h=\sqrt{x^2-25}$  

Wyznaczmy pole tego trójkąta.

$P=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \sqrt{x^2-25}$  

$P=5\sqrt{x^2-25}$  

Sprawdźmy dla jakich x pole tego trójkąta jest większe od 10.

$5\sqrt{x^2-25}>10\mid :5$  

$\sqrt{x^2-25}>2{\mid }^2$  

$x^2-25>4$  

$x^2>29\text{i}x>0$  

$x>\sqrt{29}$  

$x>5,38516..$  

Przybliżając do części dziesiątych mamy:

$x\ge 5,4$

---

$\text{b)}$  

Zał: x>0 ponieważ jest to długość boku prostokąta.

Zauważmy, że figura składa się z prostokąta oraz połowy koła o średnicy x.

Wyznaczmy pole tej figury.

$P=10\cdot x+\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot {\left(\frac{1}{2}x\right)}^2$  

$P=10x+\frac{1}{2}\pi \cdot \frac{1}{4}{x}^2$  

$P=10x+\frac{1}{8}\pi x^2$  

Sprawdźmy dla jakich x pole tej figury jest większe od 10.

$10x+\frac{1}{8}\pi x^2>10\mid -10$  

$\frac{1}{8}\pi x^2+10x-10>0$  

$\Delta ={10}^2-4\cdot \frac{1}{8}\pi \cdot \left(-10\right)=100+5\pi \approx 100+15,7\approx 115,7$  

$\sqrt{\Delta }\approx \sqrt{115,7}\approx 10,7$  

$x_1\approx \frac{-10-10,7}{2\cdot \frac{1}{8}\pi }\approx \frac{-20,7}{\frac{1}{4}\cdot 3,14}\approx \frac{-20,7}{0,78}\approx -26,5$  

$x_2\approx \frac{-10+10,7}{2\cdot \frac{1}{8}}\approx \frac{0,7}{\frac{1}{4}\cdot 3,14}\approx \frac{0,7}{0,78}\approx 0,9$  

Wiemy, że x>0, zatem:

$x\ge 1$  

---

$\text{c)}$  

Zał: x,a>0 ponieważ są to długości odpowiednio: promienia, boku trójkąta równobocznego.

Zauważmy, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości a wynosi:

$x=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$  

Zatem:

$x=\frac{a\sqrt{3}}{3}$  

$3x=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\frac{3x}{\sqrt{3}}=a$  

$\frac{3\sqrt{3}x}{3}=a$  

$\sqrt{3}x=a$  

 

Wyznaczmy pole tego trójkąta.

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$P=\frac{3x^2\sqrt{3}}{4}$  

Sprawdźmy dla jakich x pole tego trójkąta jest większe od 10.

$\frac{3x^2\sqrt{3}}{4}>10$  

$\frac{3\cdot 1,7x^2}{4}>10$  

$\frac{5,1x^2}{4}>10$  

$5,1x^2>40$  

$x^2>7,8\text{i}x>0$  

$x>2,79$  

$x\ge 2,8$