$\text{a)}$  

Wyznaczmy wzór funkcji f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(-2, 3). Wzór funkcji w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=a{\left(x+2\right)}^2+3$  

Podstawiając współrzędne punktu (0, 4) otrzymujemy:

$4=a\cdot 2^2+3$  

$1=4a$  

$\frac{1}{4}=a$  

Zatem:

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{\left(x+2\right)}^2+3$  

 

Wyznaczmy wzór funkcji g. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(3, 2). Wzór funkcji w postaci kanonicznej:

$g\left(x\right)=a{\left(x-3\right)}^2+2$  

Podstawiając współrzędne punktu (2, 3) otrzymujemy:

$3=a{\left(2-3\right)}^2+2$  

$3=a+2$  

$1=a$  

Zatem:

$g\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2+2$  

 

Obliczmy dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja g.

$f\left(x\right)<g\left(x\right)$  

$\frac{1}{4}{\left(x+2\right)}^2+3<{\left(x-3\right)}^2+2$  

$\frac{1}{4}\left(x^2+4x+4\right)+3<x^2-6x+9+2$  

$\frac{1}{4}{x}^2+x+1+3<x^2-6x+11\mid -x^2+6x-11$  

$-\frac{3}{4}{x}^2+7x-7<0$  

$\Delta =7^2-4\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\cdot \left(-7\right)=49-21=28$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$  

$x_1=\frac{-7-2\sqrt{7}}{-\frac{6}{4}}=\frac{7+2\sqrt{7}}{\frac{3}{2}}=\frac{14+4\sqrt{7}}{3}$  

$x_2=\frac{14-4\sqrt{7}}{3}$  

$x\in \left(-\infty ,\frac{14-4\sqrt{7}}{3}\right)\cup \left(\frac{14+4\sqrt{7}}{3},+\infty \right)$

---

$\text{b)}$   

Wyznaczmy wzór funkcji f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(0, 2). Wzór funkcji w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=a{x}^2+2$  

Podstawiając współrzędne punktu (2, 1) otrzymujemy:

$1=a\cdot 2^2+2$

$-1=4a$  

$-\frac{1}{4}=a$  

Zatem:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2+2$  

 

Wyznaczmy wzór funkcji g. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(0, -1). Wzór funkcji w postaci kanonicznej:

$g\left(x\right)=a{x}^2-1$  

Podstawiając współrzędne punktu (3, -3) otrzymujemy:

$-3=a\cdot 3^2-1$  

$-2=9a$  

$-\frac{2}{9}=a$  

Zatem:

$g\left(x\right)=-\frac{2}{9}{x}^2-1$  

 

Obliczmy dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja g.

$f\left(x\right)<g\left(x\right)$  

$-\frac{1}{4}{x}^2+2<-\frac{2}{9}{x}^2-1\mid \cdot \left(-36\right)$  

$9x^2-72>8x^2+36\mid -8x^2-36$  

$x^2-108>0$  

$\left(x-\sqrt{108}\right)\left(x+\sqrt{108}\right)>0$  

$\left(x-6\sqrt{3}\right)\left(+6\sqrt{3}\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,-6\sqrt{3}\right)\cup \left(6\sqrt{3},+\infty \right)$  

---

$\text{c)}$  

Wyznaczmy wzór funkcji f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(3, 0). Wzór funkcji w postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=a{\left(x-3\right)}^2$  

Podstawiając współrzędne punktu (-2, 1) otrzymujemy:

$1=a{\left(-2-3\right)}^2$  

$1=25a$  

$\frac{1}{25}=a$  

Zatem:

$f\left(x\right)=\frac{1}{25}{\left(x-3\right)}^2$  

 

Wyznaczmy wzór funkcji g. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(0, -3). Wzór funkcji w postaci kanonicznej:

$g\left(x\right)=a{x}^2-3$  

Podstawiając współrzędne punktu (4, -2) otrzymujemy:

$-2=a\cdot 4^2-3$  

$1=16a$  

$\frac{1}{16}=a$  

Zatem:

$g\left(x\right)=\frac{1}{16}{x}^2-3$  

 

Obliczmy dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja g.

$f\left(x\right)<g\left(x\right)$  

$\frac{1}{25}{\left(x-3\right)}^2<\frac{1}{16}{x}^2-3\mid \cdot 400$  

$16{\left(x-3\right)}^2<25x^2-1200$  

$16\left(x^2-6x+9\right)<25x^2-1200$  

$16x^2-96x+144<25x^2-1200$

$-9x^2-96x+1344<0\mid :\left(-3\right)$  

$3x^2+32x-448>0$  

$\Delta ={32}^2-4\cdot 3\cdot \left(-448\right)=1024+5376=6400$  

$x_1=\frac{-32-80}{2\cdot 3}=\frac{-112}{6}=-\frac{56}{3}=-18\frac{2}{3}$  

$x_2=\frac{-32+80}{2\cdot 3}=\frac{48}{6}=8$  

$x\in \left(-\infty ,-18\frac{2}{3}\right)\cup \left(8,+\infty \right)$