Skorzystamy z następujących tożsamości trygonometrycznych 

1)  ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

(tzw. "jedynka trygonometryczna")  

2)  $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

3)  $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$  

4)   $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$      

---

a) 

Wiemy, że

$\sin \alpha =\frac{7}{25}$  

oraz, że α jest kątem ostrym. 

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy cos α, dostajemy

${\left(\frac{7}{25}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{49}{625}+{\cos }^2\alpha =1\mid -\frac{49}{625}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{576}{625}\text{i}\cos \alpha >0$

czyli

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}$  

korzystając ze wzoru 2) obliczamy tg α, otrzymujemy

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}}=\frac{7}{{\cancel{25}}_1}\cdot \frac{{\cancel{25}}^1}{24}=\frac{7}{24}$

korzystając ze wzoru 3) obliczamy ctg α, otrzymujemy

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}=\frac{24}{{\cancel{25}}_1}\cdot \frac{{\cancel{25}}^1}{7}=\frac{24}{7}=3\frac{3}{7}$

---

b)

Wiemy, że

$\cos \alpha =\frac{8}{17}$  

oraz, że α jest kątem ostrym. 

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy sin α, dostajemy

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{8}{17}\right)}^2=1$

${\sin }^2\alpha +\frac{64}{289}=1\mid -\frac{64}{289}$  

${\sin }^2\alpha =\frac{225}{289}\text{i}\sin \alpha >0$

czyli

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17}$  

korzystając ze wzoru 2) obliczamy tg α, otrzymujemy

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}=\frac{15}{{\cancel{17}}_1}\cdot \frac{{\cancel{17}}^1}{8}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$

korzystając ze wzoru 3) obliczamy ctg α, otrzymujemy

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\frac{8}{{\cancel{17}}_1}\cdot \frac{{\cancel{17}}^1}{15}=\frac{8}{15}$  

---

c)

Wiemy, że

$\mathrm{tg}\alpha =1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$  

oraz, że α jest kątem ostrym. 

korzystając ze wzoru 4) obliczamy ctg α, otrzymujemy

$\frac{4}{3}\cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\mid :\frac{4}{3}$

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{3}{4}$

korzystając z tożsamości 2) dostajemy, że

$\frac{4}{3}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\mid \cdot 3\cdot \cos \alpha$     

$4\cdot \cos \alpha =3\cdot \sin \alpha \mid :4$

$\cos \alpha =\frac{3}{4}\cdot \sin \alpha$   

do wzoru 1) w miejsce cos α wstawiamy

$\frac{3}{4}\cdot \sin \alpha$  

otrzymujemy

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{3}{4}\sin \alpha \right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{9}{16}{\sin }^2\alpha =1$

$\frac{25}{16}{\sin }^2\alpha =1\mid :\frac{25}{16}$

${\sin }^2\alpha =\frac{16}{25}\text{i}\sin \alpha >0$

czyli

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$

stąd mamy

$\cos \alpha =\frac{3}{4}\cdot \sin \alpha =\frac{3}{{\cancel{4}}_1}\cdot \frac{{\cancel{4}}^1}{5}=\frac{3}{5}$      

---

d)

Wiemy, że

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{11}{60}$  

oraz, że α jest kątem ostrym. 

korzystając ze wzoru 4) obliczamy tg α, otrzymujemy

$\mathrm{tg}\alpha \cdot \frac{11}{60}=1\mid :\frac{11}{60}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{60}{11}=5\frac{5}{11}$

korzystając z tożsamości 3) dostajemy, że

$\frac{11}{60}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\mid \cdot 60\cdot \sin \alpha$     

$11\cdot \sin \alpha =60\cdot \cos \alpha \mid :11$

$\sin \alpha =\frac{60}{11}\cdot \cos \alpha$   

do wzoru 1) w miejsce sin α wstawiamy

$\frac{60}{11}\cdot \cos \alpha$  

otrzymujemy

${\left(\frac{60}{11}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{3600}{121}\cdot {\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{3721}{121}{\cos }^2\alpha =1\mid :\frac{3721}{121}$

${\cos }^2\alpha =\frac{121}{3721}\text{i}\cos \alpha >0$

czyli

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{121}{3721}}=\frac{11}{61}$

stąd mamy

$\sin \alpha =\frac{60}{11}\cdot \cos \alpha =\frac{60}{{\cancel{11}}_1}\cdot \frac{{\cancel{11}}^1}{61}=\frac{60}{61}$      

---

e)

Wiemy, że

$\sin \alpha =0,9=\frac{9}{10}$  

oraz, że α jest kątem ostrym. 

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy cos α, dostajemy

${\left(\frac{9}{10}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{81}{100}+{\cos }^2\alpha =1\mid -\frac{81}{100}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{19}{100}\text{i}\cos \alpha >0$

czyli

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{19}{100}}=\frac{\sqrt{19}}{10}$  

korzystając ze wzoru 2) obliczamy tg α, otrzymujemy

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{9}{10}}{\frac{\sqrt{19}}{10}}=\frac{9}{{\cancel{10}}_1}\cdot \frac{{\cancel{10}}^1}{\sqrt{19}}=\frac{9}{\sqrt{19}}\cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}=\frac{9\sqrt{19}}{19}$

korzystając ze wzoru 3) obliczamy ctg α, otrzymujemy

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\frac{\sqrt{19}}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{\sqrt{19}}{{\cancel{10}}_1}\cdot \frac{{\cancel{10}}^1}{9}=\frac{\sqrt{19}}{9}$  

---

f)

Wiemy, że

$\cos \alpha =\frac{2}{3}$  

oraz, że α jest kątem ostrym. 

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy sin α, dostajemy

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1$

${\sin }^{\circ }\alpha +\frac{4}{9}=1\mid -\frac{4}{9}$  

${\sin }^2\alpha =\frac{5}{9}\text{i}\sin \alpha >0$

czyli

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$  

korzystając ze wzoru 2) obliczamy tg α, otrzymujemy

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{{\cancel{3}}_1}\cdot \frac{{\cancel{3}}^1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

korzystając ze wzoru 3) obliczamy ctg α, otrzymujemy

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{2}{{\cancel{3}}_1}\cdot \frac{{\cancel{3}}^1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

---

g)

Wiemy, że

$\mathrm{tg}\alpha =4$  

oraz, że α jest kątem ostrym. 

korzystając ze wzoru 4) obliczamy ctg α, otrzymujemy

$4\cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\mid :4$

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{4}$

korzystając z tożsamości 2) dostajemy, że

$4=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\mid \cdot \cos \alpha$     

$4\cdot \cos \alpha =\sin \alpha$

do wzoru 1) w miejsce sin α wstawiamy

$4\cdot \cos \alpha$  

otrzymujemy

${\left(4\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$16{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$17{\cos }^2\alpha =1\mid :17$

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{17}\text{i}\cos \alpha >0$

czyli

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}$

stąd mamy

$\sin \alpha =4\cdot \cos \alpha =4\cdot \frac{\sqrt{17}}{17}=\frac{4\sqrt{17}}{17}$      

---

h)

Wiemy, że

$\mathrm{ctg}\alpha =2\sqrt{2}$  

oraz, że α jest kątem ostrym. 

korzystając ze wzoru 4) obliczamy tg α, otrzymujemy

$\mathrm{tg}\alpha \cdot 2\sqrt{2}=1\mid :2\sqrt{2}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

korzystając z tożsamości 3) dostajemy, że

$2\sqrt{2}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\mid \cdot \sin \alpha$     

$2\sqrt{2}\cdot \sin \alpha =\cos \alpha$

do wzoru 1) w miejsce cos α wstawiamy

$2\sqrt{2}\cdot \sin \alpha$  

otrzymujemy

${\sin }^2\alpha +{\left(2\sqrt{2}\sin \alpha \right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +8{\sin }^2\alpha =1$

$9\cdot {\sin }^2\alpha =1\mid :9$

${\sin }^2\alpha =\frac{1}{9}\text{i}\sin \alpha >0$

czyli

$\sin \alpha =\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$

stąd mamy

$\cos \alpha =2\sqrt{2}\cdot \sin \alpha =2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$