Długość boku wyciętych kwadratów oznaczmy przez  $x$  [ $\text{cm}$ ].

Pojemność powstałego pudełka jest równa:

$V=\left(12-2x\right)\left(10-2x\right)x=\left(120-24x-20x+4x^2\right)x=$  

$=\left(4x^2-44x+120\right)x=4x^3-44x^2+120x$  

Ma ona być większa niż  $96{\text{cm}}^3$ , więc:

$V>96$  

Czyli:

$4x^3-44x^2+120x>96$  

$4x^3-44x^2+120x-96>0$  

$x^3-11x^2+30x-24>0$  

Sprawdzamy, czy liczba  $1$  jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)=x^3-11x^2+30x-24$ , czyli czy  $W\left(1\right)=0$ .

$W\left(1\right)=1^3-11\cdot 1^2+30\cdot 1-24=1-11+30-24=-4\ne 0$  

Sprawdzamy, czy liczba  $-1$  jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)=x^3-11x^2+30x-24$ , czyli czy  $W\left(-1\right)=0$ .

$W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-11\cdot {\left(-1\right)}^2+30\cdot \left(-1\right)-24=-1-11-30-24=-66\ne 0$  

Sprawdzamy, czy liczba  $2$  jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)=x^3-11x^2+30x-24$ , czyli czy  $W\left(2\right)=0$ .

$W\left(1\right)=2^3-11\cdot 2^2+30\cdot 2-24=8-44+60-24=0$  

Wykonujemy dzielenie, stosując schemat Hornera.

	$1$	$-11$	$30$	$-24$
$2$	$1$	$-9$	$12$	$0$

Zatem:

$x^3-11x^2+30x-24=\underset{f\left(x\right)}{\underbrace{\left(x-2\right)}}\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-9x+12\right)}}>0$  

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji  $f\left(x\right)$ .

$0=x-2$  

$x=2$  

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji  $g\left(x\right)$ .

$0=x^2-9x+12$  

$\Delta ={\left(-9\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=81-48=33$  

$x_1=\frac{-\left(-9\right)-\sqrt{33}}{2\cdot 1}=\frac{9-\sqrt{33}}{2}$  

$x_2=\frac{-\left(-9\right)+\sqrt{33}}{2\cdot 1}=\frac{9+\sqrt{33}}{2}$  

Szkicujemy wykresy funkcji.

Nierówność jest spełniona dla:

$x\in \left(\frac{9-\sqrt{33}}{2},2\right)$  

Po przybliżeniu otrzymujemy:

$x\in \left(1,63,2\right)$  

Boki odciętych kwadratów powinny mieć więcej niż 1,63 cm, ale mniej niż 2 cm.