III liceum

III technikum

IV technikum

Matematyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2017. Arkusz poprawkowy

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020.

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2021

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2022

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018. Drugi termin

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom rozszerzony 2022

MATeMAtyka 3. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Próbne arkusze maturalne. Zestaw 1. Poziom podstawowy

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom podstawowy. Po gimnazjum

Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom rozszerzony. Po gimnazjum

a)
 <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80212/wXTbhFFr1YH4KK1d/C53OQ%3D%3D_1e25375a398a26ee6b1abc7979dfff6042443ab0d60796e7476337a8065561bf.jpg" alt="" width="400" height="404">

a)
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80216/ue/LZpsKdWtuMUVEVzf8Aw%3D%3D_9eb66efde75c2725322f9dbc7a7cdeb2005079be66792e3367bef94a84d479bd.jpg" alt="" width="424" height="381">    
<hr>
b)
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80217/G57BoGPFRW4Znm%2B1%2BfaT2g%3D%3D_172b2bd95d30d92f4f029ab99b3272b21bcc3c1072e2d367431699f5521d794c.jpg" alt="" width="449" height="454">

Czworościan foremny to ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.&nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80218/OgRnGzYpkjq6ncI93un5zQ%3D%3D_fede824acb04322bbb624a72b455bed22542819ae55794b77c48729d074208ae.jpg" alt="" width="307" height="421">&nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80219/sM55/W1UrRimnwjQ3cRt5g%3D%3D_71ebf456e7a7b59b0dbbd95afcc859754368d93529c16598cba606d70100fabe.jpg" alt="" width="356" height="436">&nbsp; &nbsp; Z treści zadania wiemy, że: Pp​=643<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ [cm2] &nbsp; 4a23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=643<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​   ∣⋅4 &nbsp; &nbsp;&nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80220/MzeC/WPERMKNVrCumSS2Nw%3D%3D_ee9f0fee08a26b6d892ec13ae71dea5e38754adf800f78a615dfe5066504ec99.jpg" alt="" width="334" height="511"> Z treści zadania wiemy, że: a=62<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ [cm] &nbsp; H=8 [cm] &nbsp; &nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80224/tbQZs4LDDfOCovPHNJxnEg%3D%3D_30f0e125b8839099e2cc347bc31caf61939b24cf80f27f918f1514340d738f3f.jpg" alt="" width="233" height="319">&nbsp; &nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80219/sM55/W1UrRimnwjQ3cRt5g%3D%3D_71ebf456e7a7b59b0dbbd95afcc859754368d93529c16598cba606d70100fabe.jpg" alt="" width="356" height="436">&nbsp; &nbsp; Z treści zadania wiemy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0fb6e5349ca58ef82645ebef3112fb7104d71e4b25a0a292f2f5231c70cd1500_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0fb6e5349ca58ef82645ebef3112fb7104d71e4b25a0a292f2f5231c70cd1500_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/897fb4523a123582ca143d226d9fa2f7b88296319d0ed61e2f894e5ad97478c1_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/897fb4523a123582ca143d226d9fa2f7b88296319d0ed61e2f894e5ad97478c1_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;&nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80220/MzeC/WPERMKNVrCumSS2Nw%3D%3D_ee9f0fee08a26b6d892ec13ae71dea5e38754adf800f78a615dfe5066504ec99.jpg" alt="" width="334" height="511"> Z treści zadania wiemy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4962421038a08eee95bc2929b8531d20cb8c0da9b7c887113934006cc49b712_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4962421038a08eee95bc2929b8531d20cb8c0da9b7c887113934006cc49b712_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/57b243f1d9389f1b22b3352ef96ff80b36bd4c5b6214f28b9d93925f2741869c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/57b243f1d9389f1b22b3352ef96ff80b36bd4c5b6214f28b9d93925f2741869c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80221/PpoR5fUGYKFY9eyl88UZHw%3D%3D_bca47c4bf50c7f05cde9a3ec922a24477c2a7c38aa6ae23dba43022a6166d565.jpg" alt="" width="337" height="388">&nbsp; Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ba33db1d3ad39b7cc145b3c83a19671097c02d22f88fe7b94c9f64cde3207556_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ba33db1d3ad39b7cc145b3c83a19671097c02d22f88fe7b94c9f64cde3207556_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d73fa501e13ca234c45cd3685764a99f9bb6843f19fc41b59d37faffa0d4cd02_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d73fa501e13ca234c45cd3685764a99f9bb6843f19fc41b59d37faffa0d4cd02_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Z drugiej strony otrzymujemy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4ff4f9f53524655886c704bae83ef64207f3d4fb505ecb8c6be84026a35d9cc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4ff4f9f53524655886c704bae83ef64207f3d4fb505ecb8c6be84026a35d9cc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1f4578bba840fb76a47ca4f560babd7403674817afbab7fab87c65e230a51c05_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1f4578bba840fb76a47ca4f560babd7403674817afbab7fab87c65e230a51c05_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5d1d828c7d9d63b3fdaed11ed210f217c4fa62c7653dfc1a919590974cb89cf2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5d1d828c7d9d63b3fdaed11ed210f217c4fa62c7653dfc1a919590974cb89cf2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c8041ec5459b5a3d036febb4fdbcd4d405c61331b0aec47f8630623f802af871_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c8041ec5459b5a3d036febb4fdbcd4d405c61331b0aec47f8630623f802af871_big.svg" type="image/svg+xml"></object> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1142a8043927cbce86eda7cc1a2dc943fe9979c55dce57df2ce0f2f29ea9ccb2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1142a8043927cbce86eda7cc1a2dc943fe9979c55dce57df2ce0f2f29ea9ccb2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fffa53b2a435a6c617e96b6d049edbdc1bf7668138ace31bd4a250e881fe0104_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fffa53b2a435a6c617e96b6d049edbdc1bf7668138ace31bd4a250e881fe0104_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/32e5d1d52cdd1a33d78ab18ca2f9b2268eb5a9ce608f171ecb185dca6c38adfd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/32e5d1d52cdd1a33d78ab18ca2f9b2268eb5a9ce608f171ecb185dca6c38adfd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/020dbeae7573005ded9af039be4b3029bda2784eaa65a575089d7287d18f6036_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/020dbeae7573005ded9af039be4b3029bda2784eaa65a575089d7287d18f6036_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a6a77a966cb22c73f6734decfc783b4db4495f97005e8194f51e22f8da3b31a4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a6a77a966cb22c73f6734decfc783b4db4495f97005e8194f51e22f8da3b31a4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5a69318ce646955bb541a274326f620367baf0b832d440bca2aeade3c3acb44c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5a69318ce646955bb541a274326f620367baf0b832d440bca2aeade3c3acb44c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/556d1a4242c0899765ad72299c94b494fcc3fad384e3529a64cf40364239ccac_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/556d1a4242c0899765ad72299c94b494fcc3fad384e3529a64cf40364239ccac_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7793283be0b6026f962799bb5696d46d93f09eeaf8c9b26d1ad4f886cb6b1bd3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7793283be0b6026f962799bb5696d46d93f09eeaf8c9b26d1ad4f886cb6b1bd3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8921051eb7deda08d276bea1c4c03491407348db670ed6937a986faca1be4e61_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8921051eb7deda08d276bea1c4c03491407348db670ed6937a986faca1be4e61_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;

Komentarze