II liceum

II technikum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Zauważmy, że trójkąty ABR&nbsp;i PDR są podobne, skala podobieństwa wynosi:

Rysunek poglądowy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80200/fJPNs7r8IKohrtNz34MI9A%3D%3D_8070c1aff4e2cba0d6d14235063f8d80a8f81c9692e106035942e751d6677495.png" alt="" width="452" height="379">

Rysunek poglądowy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80204/%2Bn754dc5sdwi11u1jEhQLg%3D%3D_abe69e5418c7a4a08a97388dcc5b7db7fdb12e9081a204a7a486bd42e4319380.png" alt="" width="500" height="457"> Kąty wierzchołkowe przy wierzchołku P mają równe miary. Zauważmy, że z założenia wynika: ∣PD∣∣PA∣​=∣PC∣∣PB∣​ Stąd wynika, że trójkąty PAB i PCD są podobne. Analogicznie trójkąty PAD i PBC są podobne, czyli: Zwróćmy uwagę na trójkąt PBC. Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180o: α+β+γ+δ=180o &nbsp; Zauważmy, że: ∣∢CBA∣+∣∢ADC∣=α+δ+β+γ=α+β+γ+δ=180o &nbsp; Zatem: ∣∢CBA∣+∣∢ADC∣=∣∢BAD∣+∣∢DCB∣=180o &nbsp; Sumy miar przeciwległych kątów w czworokącie są równe zatem da się na nim opisać okrąg.

Z twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej:

Rysunek poglądowy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/80204/%2Bn754dc5sdwi11u1jEhQLg%3D%3D_abe69e5418c7a4a08a97388dcc5b7db7fdb12e9081a204a7a486bd42e4319380.png" alt="" width="500" height="457"> Kąty wierzchołkowe przy wierzchołku P mają równe miary. Zauważmy, że z założenia wynika: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d3923475ef6757c2821941579ac0313bc569bf171f1aee1dcd527ae313507edd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d3923475ef6757c2821941579ac0313bc569bf171f1aee1dcd527ae313507edd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> Stąd wynika, że trójkąty PAB i PCD są podobne. Analogicznie trójkąty PAD i PBC są podobne, czyli: Zwróćmy uwagę na trójkąt PBC. Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180o: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/21f3e2006e1a6252716eb89b7d4564aaaa1dda9264ab817674aae25498773161_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/21f3e2006e1a6252716eb89b7d4564aaaa1dda9264ab817674aae25498773161_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zauważmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ffc624a8ed5681ac55a75fa2056b427a604852c5381a1551e71c2684a1d69d4a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ffc624a8ed5681ac55a75fa2056b427a604852c5381a1551e71c2684a1d69d4a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/59e6c13ed945b698c279a57626f7a9282de9a161f2cfa310df54251ac2b763ac_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/59e6c13ed945b698c279a57626f7a9282de9a161f2cfa310df54251ac2b763ac_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Sumy miar przeciwległych kątów w czworokącie są równe zatem da się na nim opisać okrąg.

Komentarze