I liceum

I technikum

II technikum

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Przypomnijmy cechy podzielności liczb naturalnych. Dowolna liczba naturalna jest: - podzielna przez&nbsp; 2⇔ &nbsp;jest parzysta; - podzielna przez&nbsp; 3⇔ &nbsp;suma cyfr tej liczby jest podzielna przez&nbsp; 3; &nbsp; - podzielna przez&nbsp; 4⇔ &nbsp;dwie ostatnie cyfry tej liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez&nbsp; 4; &nbsp; - podzielna przez&nbsp; 5⇔ &nbsp;cyfrą jedności tej liczby jest&nbsp; 0 &nbsp;lub&nbsp; 5; &nbsp; - podzielna przez&nbsp; 6⇔ &nbsp;jest podzielna jednocześnie przez&nbsp; 2 &nbsp;i przez&nbsp; 3; &nbsp; - podzielna przez&nbsp; 8⇔ &nbsp;trzy ostatnie cyfry tej liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez&nbsp; 8; &nbsp; - podzielna przez&nbsp; 9⇔ &nbsp;suma cyfr tej liczby jest podzielna przez&nbsp; 9. &nbsp; <hr> a) 23141208 &nbsp; Ta liczba jest parzysta, jej cyfrą jedności nie jest ani&nbsp; 0, &nbsp;ani&nbsp; 5. &nbsp; Dwie ostatnie cyfry tej liczby to&nbsp; 08, &nbsp;więc tworzą one liczbę podzielną przez&nbsp; 4. &nbsp; Trzy ostatnie cyfry tej liczby to&nbsp; 208, &nbsp;więc tworzą one liczbę podzielną przez&nbsp; 8. &nbsp; Obliczamy sumę cyfr tej liczby: 2+3+1+4+1+2+0+8=21 &nbsp; Liczba&nbsp; 21 &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; 3, &nbsp;ale nie jest podzielna przez&nbsp; 9. &nbsp; Podsumowując:&nbsp; Dzielnikami liczby&nbsp; 23141208 &nbsp;są liczby:&nbsp; 2, 3, 4, 6, 8. &nbsp;

Wszystkie liczby, których dzielnikiem jest&nbsp; 13, &nbsp;są większe lub mniejsze od&nbsp; x &nbsp;o pewną wielokrotność&nbsp; 13. &nbsp; Zatem odpowiedzi wyglądają następująco:&nbsp;

a) &nbsp;tak, bo liczba&nbsp; 130⋅7 &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; 13 &nbsp;

Przypomnijmy cechy podzielności liczb naturalnych. Dowolna liczba naturalna jest: - podzielna przez&nbsp; 2⇔ &nbsp;jest parzysta; - podzielna przez&nbsp; 3⇔ &nbsp;suma cyfr tej liczby jest podzielna przez&nbsp; 3; &nbsp; - podzielna przez&nbsp; 4⇔ &nbsp;dwie ostatnie cyfry tej liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez&nbsp; 4; &nbsp; - podzielna przez&nbsp; 5⇔ &nbsp;cyfrą jedności tej liczby jest&nbsp; 0 &nbsp;lub&nbsp; 5; &nbsp; - podzielna przez&nbsp; 6⇔ &nbsp;jest podzielna jednocześnie przez&nbsp; 2 &nbsp;i przez&nbsp; 3; &nbsp; - podzielna przez&nbsp; 8⇔ &nbsp;trzy ostatnie cyfry tej liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez&nbsp; 8; &nbsp; - podzielna przez&nbsp; 9⇔ &nbsp;suma cyfr tej liczby jest podzielna przez&nbsp; 9. &nbsp; <hr> a) 0 &nbsp;

Liczba jest podzielna przez&nbsp; 6, &nbsp;jeśli jest jednocześnie podzielna przez&nbsp; 2 &nbsp;i przez&nbsp; 3. &nbsp; Dana liczba jest parzysta (niezależnie od tego, jakie X , więc wystarczy ustalić, dla jakiej wartości&nbsp; X &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; 3. &nbsp; <hr> Obliczamy sumę cyfr tej liczby: 3+4+2+7+2+5+X+4=27+X &nbsp; Liczba&nbsp; 27 &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; 3, &nbsp;więc liczba&nbsp; 27+X &nbsp;będzie podzielna przez&nbsp; 3, &nbsp;gdy&nbsp; X∈{0, 3, 6, 9}. &nbsp; <hr> Odp. X=0   ∨   X=3   ∨   X=6   ∨   X=9. &nbsp;

Liczba jest podzielna przez&nbsp; 15, &nbsp;jeśli jest jednocześnie podzielna przez&nbsp; 3 &nbsp;i przez&nbsp; 5. &nbsp; Dana liczba jest podzielna przez&nbsp; 5, &nbsp;bo jej cyfrą jedności jest&nbsp; 5, &nbsp;więc wystarczy ustalić, dla jakiej wartości&nbsp; X &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; 3. &nbsp;

a) &nbsp;Liczba jest podzielna przez&nbsp; 9, &nbsp;jeśli suma cyfr tej liczby jest liczbą podzielną przez&nbsp; 9. &nbsp; Obliczamy sumę cyfr liczby&nbsp; 2 714 238: &nbsp; <hr> 2+7+1+4+2+3+8=9+5+5+8=27 &nbsp; Liczba&nbsp; 2 714 238 &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; 9, &nbsp;bo liczba&nbsp; 27 &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; 9. &nbsp;

Liczby&nbsp; x &nbsp;i&nbsp; y &nbsp;są liczbami pierwszymi (różnymi od&nbsp; 2, &nbsp;to ważne!), więc są liczbami nieparzystymi.&nbsp;

a) &nbsp;Wstawmy na początek w miejsce&nbsp; p &nbsp;kilka liczb pierwszych: 5⋅2−3=10−3=7 &nbsp; 5⋅3−3=15−3=12 &nbsp; 5⋅5−3=25−3=22 &nbsp; 5⋅7−3=35−3=32 &nbsp; i tak dalej...&nbsp;

Przypomnijmy cechy podzielności liczb naturalnych. Dowolna liczba naturalna jest: - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ee4363bd4f1fd36f09677e3825c773e2571e402ce7174b087f296b9c46c0ec65_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ee4363bd4f1fd36f09677e3825c773e2571e402ce7174b087f296b9c46c0ec65_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest parzysta; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/61100098e2362bf06ecaef42e147339a5f2c4b742ad180891d557cadd4166222_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/61100098e2362bf06ecaef42e147339a5f2c4b742ad180891d557cadd4166222_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;suma cyfr tej liczby jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58a39c37238ac60eacc3fe90677482f2efc2534e5c581aa8a3689c5833fba7f2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58a39c37238ac60eacc3fe90677482f2efc2534e5c581aa8a3689c5833fba7f2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/95fd16d0af257a16e138fb1938683c5325a8cae92678f99daa163ee68d5279d7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/95fd16d0af257a16e138fb1938683c5325a8cae92678f99daa163ee68d5279d7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;dwie ostatnie cyfry tej liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/30e240f3aa575c86ecdd2c7c298baaace4681ecac8a95bc220358db40a7efd33_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/30e240f3aa575c86ecdd2c7c298baaace4681ecac8a95bc220358db40a7efd33_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4027da06ee0bc365fb410ca4bcff6be7cb7311e829407f0653b84fa8b0790c16_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4027da06ee0bc365fb410ca4bcff6be7cb7311e829407f0653b84fa8b0790c16_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;cyfrą jedności tej liczby jest&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5feceb66ffc86f38d952786c6d696c79c2dbc239dd4e91b46729d73a27fb57e9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5feceb66ffc86f38d952786c6d696c79c2dbc239dd4e91b46729d73a27fb57e9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;lub&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58f5f875afd05a87033d3873185a59072f683e3536bdc204bc871cb1634335da_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58f5f875afd05a87033d3873185a59072f683e3536bdc204bc871cb1634335da_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5cd04a31346c634be85b95758fb1758a64a381bc9c397619ea1ec241216cdf44_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5cd04a31346c634be85b95758fb1758a64a381bc9c397619ea1ec241216cdf44_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest podzielna jednocześnie przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4735e3a265e16eee03f59718b9b5d03019c07d8b6c51f90da3a666eec13ab35_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4735e3a265e16eee03f59718b9b5d03019c07d8b6c51f90da3a666eec13ab35_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;i przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58a39c37238ac60eacc3fe90677482f2efc2534e5c581aa8a3689c5833fba7f2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58a39c37238ac60eacc3fe90677482f2efc2534e5c581aa8a3689c5833fba7f2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cfb0576a42e15c87741ce563af73bc7ed482c7af4058384291467aa1efcb8a07_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cfb0576a42e15c87741ce563af73bc7ed482c7af4058384291467aa1efcb8a07_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;trzy ostatnie cyfry tej liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/51146722a7f39a70539c2474dea2dfaaa8e197c897ab6bf59ba9c3a66db02499_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/51146722a7f39a70539c2474dea2dfaaa8e197c897ab6bf59ba9c3a66db02499_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b0fdb8fdd45feb531c8ed6cc32370a2760489d8a0d99b51210f34d0ca5608316_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b0fdb8fdd45feb531c8ed6cc32370a2760489d8a0d99b51210f34d0ca5608316_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;suma cyfr tej liczby jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/99a1b84b98650fd4581b7156cd830ef74402cc54b6b834b677c269a41e731915_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/99a1b84b98650fd4581b7156cd830ef74402cc54b6b834b677c269a41e731915_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dded83f30496280b1ce5fd15a3878181420f7389e5186431cc1603d85a7c4e09_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dded83f30496280b1ce5fd15a3878181420f7389e5186431cc1603d85a7c4e09_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Ta liczba jest parzysta, jej cyfrą jedności nie jest ani&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0a5a2432405b31b9031c2254d5b84445fc1b2d9513c6e16370607c909f6fd210_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0a5a2432405b31b9031c2254d5b84445fc1b2d9513c6e16370607c909f6fd210_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;ani&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/540dd397b2d380dcc3f59796c4facc43379929f1a3b5e6cc9a218274391b635b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/540dd397b2d380dcc3f59796c4facc43379929f1a3b5e6cc9a218274391b635b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Dwie ostatnie cyfry tej liczby to&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/df03d9b83e766aa93baf66a968846e200716429ba52027613b34f30c7cd7be97_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/df03d9b83e766aa93baf66a968846e200716429ba52027613b34f30c7cd7be97_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;więc tworzą one liczbę podzielną przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/23f663630e2f28250c09d7a0c370f55eebf635772f9ce27e46797ab8ef297f4b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/23f663630e2f28250c09d7a0c370f55eebf635772f9ce27e46797ab8ef297f4b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Trzy ostatnie cyfry tej liczby to&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8f77109522be2ba21f4e6946bd9a57493ac401ad4045e5073777dff0ac2a95f5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8f77109522be2ba21f4e6946bd9a57493ac401ad4045e5073777dff0ac2a95f5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;więc tworzą one liczbę podzielną przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6ce012fd1056714b493ab0a7b473923e52b597bdb7cde60a0d97ef6f54e60c4d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6ce012fd1056714b493ab0a7b473923e52b597bdb7cde60a0d97ef6f54e60c4d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Obliczamy sumę cyfr tej liczby: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e012da0005222bfe4dda3475f275a8ed2b24f0bb198cfbf14d392cbe58613d81_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e012da0005222bfe4dda3475f275a8ed2b24f0bb198cfbf14d392cbe58613d81_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Liczba&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6f4b6612125fb3a0daecd2799dfd6c9c299424fd920f9b308110a2c1fbd8f443_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6f4b6612125fb3a0daecd2799dfd6c9c299424fd920f9b308110a2c1fbd8f443_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bf7bd500807d7596a4c688f9aa5848993033a34c499d1c99fa1980335cc4e4bf_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bf7bd500807d7596a4c688f9aa5848993033a34c499d1c99fa1980335cc4e4bf_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;ale nie jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/99a1b84b98650fd4581b7156cd830ef74402cc54b6b834b677c269a41e731915_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/99a1b84b98650fd4581b7156cd830ef74402cc54b6b834b677c269a41e731915_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Podsumowując:&nbsp; Dzielnikami liczby&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8ef7aff180d66b1f393b688c2c4e1caffded6e5395bf6ce5917515eaaa8e439f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8ef7aff180d66b1f393b688c2c4e1caffded6e5395bf6ce5917515eaaa8e439f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;są liczby:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/83f7f5fff2ab68cc3502442b6caa21bbad0af08a1c722b146b453b661e7ec5cd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/83f7f5fff2ab68cc3502442b6caa21bbad0af08a1c722b146b453b661e7ec5cd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Wszystkie liczby, których dzielnikiem jest&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ca34cebda8461072a8d8880bac303e2841ce8e800050934ce015d19f542d389b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ca34cebda8461072a8d8880bac303e2841ce8e800050934ce015d19f542d389b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;są większe lub mniejsze od&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;o pewną wielokrotność&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/352e15aaca7dcf8dec5093dacd9256df4d66ba8677558e1cbba32c709cadeece_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/352e15aaca7dcf8dec5093dacd9256df4d66ba8677558e1cbba32c709cadeece_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem odpowiedzi wyglądają następująco:&nbsp;

Przypomnijmy cechy podzielności liczb naturalnych. Dowolna liczba naturalna jest: - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ee4363bd4f1fd36f09677e3825c773e2571e402ce7174b087f296b9c46c0ec65_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ee4363bd4f1fd36f09677e3825c773e2571e402ce7174b087f296b9c46c0ec65_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest parzysta; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/61100098e2362bf06ecaef42e147339a5f2c4b742ad180891d557cadd4166222_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/61100098e2362bf06ecaef42e147339a5f2c4b742ad180891d557cadd4166222_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;suma cyfr tej liczby jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58a39c37238ac60eacc3fe90677482f2efc2534e5c581aa8a3689c5833fba7f2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58a39c37238ac60eacc3fe90677482f2efc2534e5c581aa8a3689c5833fba7f2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/95fd16d0af257a16e138fb1938683c5325a8cae92678f99daa163ee68d5279d7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/95fd16d0af257a16e138fb1938683c5325a8cae92678f99daa163ee68d5279d7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;dwie ostatnie cyfry tej liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/30e240f3aa575c86ecdd2c7c298baaace4681ecac8a95bc220358db40a7efd33_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/30e240f3aa575c86ecdd2c7c298baaace4681ecac8a95bc220358db40a7efd33_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4027da06ee0bc365fb410ca4bcff6be7cb7311e829407f0653b84fa8b0790c16_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4027da06ee0bc365fb410ca4bcff6be7cb7311e829407f0653b84fa8b0790c16_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;cyfrą jedności tej liczby jest&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5feceb66ffc86f38d952786c6d696c79c2dbc239dd4e91b46729d73a27fb57e9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5feceb66ffc86f38d952786c6d696c79c2dbc239dd4e91b46729d73a27fb57e9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;lub&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58f5f875afd05a87033d3873185a59072f683e3536bdc204bc871cb1634335da_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58f5f875afd05a87033d3873185a59072f683e3536bdc204bc871cb1634335da_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5cd04a31346c634be85b95758fb1758a64a381bc9c397619ea1ec241216cdf44_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5cd04a31346c634be85b95758fb1758a64a381bc9c397619ea1ec241216cdf44_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest podzielna jednocześnie przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4735e3a265e16eee03f59718b9b5d03019c07d8b6c51f90da3a666eec13ab35_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4735e3a265e16eee03f59718b9b5d03019c07d8b6c51f90da3a666eec13ab35_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;i przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58a39c37238ac60eacc3fe90677482f2efc2534e5c581aa8a3689c5833fba7f2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/58a39c37238ac60eacc3fe90677482f2efc2534e5c581aa8a3689c5833fba7f2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cfb0576a42e15c87741ce563af73bc7ed482c7af4058384291467aa1efcb8a07_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cfb0576a42e15c87741ce563af73bc7ed482c7af4058384291467aa1efcb8a07_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;trzy ostatnie cyfry tej liczby są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/51146722a7f39a70539c2474dea2dfaaa8e197c897ab6bf59ba9c3a66db02499_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/51146722a7f39a70539c2474dea2dfaaa8e197c897ab6bf59ba9c3a66db02499_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; - podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b0fdb8fdd45feb531c8ed6cc32370a2760489d8a0d99b51210f34d0ca5608316_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b0fdb8fdd45feb531c8ed6cc32370a2760489d8a0d99b51210f34d0ca5608316_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;suma cyfr tej liczby jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/99a1b84b98650fd4581b7156cd830ef74402cc54b6b834b677c269a41e731915_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/99a1b84b98650fd4581b7156cd830ef74402cc54b6b834b677c269a41e731915_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ae936fb3a26dae12f0971e6bdf797da0f5a685c4e0588c2a2e2ae5b41922a969_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ae936fb3a26dae12f0971e6bdf797da0f5a685c4e0588c2a2e2ae5b41922a969_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Liczba jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6095a4573c6563701b9b536d16a1ac3c139a5f8cabd6c0697c6e377989492f6e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6095a4573c6563701b9b536d16a1ac3c139a5f8cabd6c0697c6e377989492f6e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jeśli jest jednocześnie podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4735e3a265e16eee03f59718b9b5d03019c07d8b6c51f90da3a666eec13ab35_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d4735e3a265e16eee03f59718b9b5d03019c07d8b6c51f90da3a666eec13ab35_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;i przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/267c23695b6e8fc29bd88b9f5d1962d3d208fa9c2fafd974614e6ab3b84fa55c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/267c23695b6e8fc29bd88b9f5d1962d3d208fa9c2fafd974614e6ab3b84fa55c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Dana liczba jest parzysta (niezależnie od tego, jakie <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4b68ab3847feda7d6c62c1fbcbeebfa35eab7351ed5e78f4ddadea5df64b8015_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4b68ab3847feda7d6c62c1fbcbeebfa35eab7351ed5e78f4ddadea5df64b8015_big.svg" type="image/svg+xml"></object> , więc wystarczy ustalić, dla jakiej wartości&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4b68ab3847feda7d6c62c1fbcbeebfa35eab7351ed5e78f4ddadea5df64b8015_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4b68ab3847feda7d6c62c1fbcbeebfa35eab7351ed5e78f4ddadea5df64b8015_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/267c23695b6e8fc29bd88b9f5d1962d3d208fa9c2fafd974614e6ab3b84fa55c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/267c23695b6e8fc29bd88b9f5d1962d3d208fa9c2fafd974614e6ab3b84fa55c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Obliczamy sumę cyfr tej liczby: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ebc1ed1469a4ddb104807249afe36f4bf83d181a18dfef1c606287e687ca20b8_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ebc1ed1469a4ddb104807249afe36f4bf83d181a18dfef1c606287e687ca20b8_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Liczba&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/670671cd97404156226e507973f2ab8330d3022ca96e0c93bdbdb320c41adcaf_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/670671cd97404156226e507973f2ab8330d3022ca96e0c93bdbdb320c41adcaf_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bf7bd500807d7596a4c688f9aa5848993033a34c499d1c99fa1980335cc4e4bf_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bf7bd500807d7596a4c688f9aa5848993033a34c499d1c99fa1980335cc4e4bf_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;więc liczba&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/69350ce3f5a717cdd1f59ca33e25753c4ee4af37ecce95333cfba25780975aa5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/69350ce3f5a717cdd1f59ca33e25753c4ee4af37ecce95333cfba25780975aa5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;będzie podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bf7bd500807d7596a4c688f9aa5848993033a34c499d1c99fa1980335cc4e4bf_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bf7bd500807d7596a4c688f9aa5848993033a34c499d1c99fa1980335cc4e4bf_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;gdy&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/911bde0f478321e0ae1ee33459f06c732fdcf147672af9e5d28eb49b0a609035_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/911bde0f478321e0ae1ee33459f06c732fdcf147672af9e5d28eb49b0a609035_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <hr> Odp. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1d7d8436610b907247fc340a4d132aaaa1fd34858f14abbfd5d98d88502cf496_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1d7d8436610b907247fc340a4d132aaaa1fd34858f14abbfd5d98d88502cf496_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Liczba jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/674cff77a2422e4bb449aa92f8bcb479b8df99a9a46bc2f5be4f8dd70d6eea08_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/674cff77a2422e4bb449aa92f8bcb479b8df99a9a46bc2f5be4f8dd70d6eea08_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jeśli jest jednocześnie podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4e07408562bedb8b60ce05c1decfe3ad16b72230967de01f640b7e4729b49fce_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4e07408562bedb8b60ce05c1decfe3ad16b72230967de01f640b7e4729b49fce_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;i przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/540dd397b2d380dcc3f59796c4facc43379929f1a3b5e6cc9a218274391b635b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/540dd397b2d380dcc3f59796c4facc43379929f1a3b5e6cc9a218274391b635b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Dana liczba jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/16712ce9fa88f344526db29307bde142260508211ad151b89f97c4e1dd73c739_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/16712ce9fa88f344526db29307bde142260508211ad151b89f97c4e1dd73c739_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;bo jej cyfrą jedności jest&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/16712ce9fa88f344526db29307bde142260508211ad151b89f97c4e1dd73c739_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/16712ce9fa88f344526db29307bde142260508211ad151b89f97c4e1dd73c739_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;więc wystarczy ustalić, dla jakiej wartości&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4b68ab3847feda7d6c62c1fbcbeebfa35eab7351ed5e78f4ddadea5df64b8015_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4b68ab3847feda7d6c62c1fbcbeebfa35eab7351ed5e78f4ddadea5df64b8015_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;jest podzielna przez&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/267c23695b6e8fc29bd88b9f5d1962d3d208fa9c2fafd974614e6ab3b84fa55c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/267c23695b6e8fc29bd88b9f5d1962d3d208fa9c2fafd974614e6ab3b84fa55c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Liczby&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;i&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a1fce4363854ff888cff4b8e7875d600c2682390412a8cf79b37d0b11148b0fa_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a1fce4363854ff888cff4b8e7875d600c2682390412a8cf79b37d0b11148b0fa_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;są liczbami pierwszymi (różnymi od&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b3bc69c97c12111e04362db1cbb2de16ac26a59c7704b2a358b56df68b3b89b3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b3bc69c97c12111e04362db1cbb2de16ac26a59c7704b2a358b56df68b3b89b3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;to ważne!), więc są liczbami nieparzystymi.&nbsp;

Komentarze