Funkcjami równymi nazywamy funkcje, które mają równe dziedziny i dla każdego argumentu należącego do ich wspólnej dziedziny wartości obu funkcji są jednakowe.

Symbolicznie tę definicję możemy zapisać następująco:

$f=g\iff \left[D_f=D_g=D\wedge \underset{x\in D}{\bigwedge }f\left(x\right)=g\left(x\right)\right]$  

a) Określamy dziedzinę funkcji f: 

$9x^2+6x+1\ge 0$  

${\left(3x+1\right)}^2\ge 0$  

$D_f=\mathbf{R}$  

Określamy dziedzinę funkcji g: 

$D_g=\mathbf{R}$  

Dziedziny funkcji f i g są równe, więc przystępujemy do sprawdzenia, czy dla każdego argumentu z dziedziny wartości obu funkcji są jednakowe.

Wzór funkcji f możemy przekształcić następująco:

$f\left(x\right)=\sqrt{9x^2+6x+1}=\sqrt{{\left(3x+1\right)}^2}=\left|3x+1\right|$  

Po przekształceniach otrzymaliśmy, że funkcje f i g mają takie same wzory. Wcześniej ustaliliśmy, że mają też takie same dziedziny. Oznacza to, że funkcje f i g są równe.

b) Określamy dziedzinę funkcji f: 

$x^2+1\ne 0$  

$x^2\ne -1$  

Nierówność jest zawsze prawdziwa. Zatem:

$D_f=\mathbf{R}$  

Określamy dziedzinę funkcji g: 

$D_g=\mathbf{R}$  

Dziedziny funkcji f i g są równe, więc przystępujemy do sprawdzenia, czy dla każdego argumentu z dziedziny wartości obu funkcji są jednakowe.

Wzór funkcji f możemy przekształcić następująco:

$f\left(x\right)=\frac{x^4-1}{x^2+1}=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=x^2-1$  

Po przekształceniach otrzymaliśmy, że funkcje f i g mają takie same wzory. Wcześniej ustaliliśmy, że mają też takie same dziedziny. Oznacza to, że funkcje f i g są równe.

c) Określamy dziedzinę funkcji f: 

$2x^2+6\ne 0$  

$2x^2\ne -6\mid :2$  

$x^2\ne -3$  

Nierówność jest zawsze prawdziwa. Zatem:

$D_f=\mathbf{R}$  

Określamy dziedzinę funkcji g: 

$D_g=\mathbf{R}$  

Dziedziny funkcji f i g są równe, więc przystępujemy do sprawdzenia, czy dla każdego argumentu z dziedziny wartości obu funkcji są jednakowe.

Wzór funkcji f możemy przekształcić następująco:

$f\left(x\right)=\frac{x^4+6x^2+9}{2x^2+6}=\frac{{\left(x^2+3\right)}^2}{2\left(x^2+3\right)}=\frac{x^2+3}{2}$  

Po przekształceniach otrzymaliśmy, że funkcje f i g mają takie same wzory. Wcześniej ustaliliśmy, że mają też takie same dziedziny. Oznacza to, że funkcje f i g są równe.

d) Określamy dziedzinę funkcji f: 

$x-3\ne 0$  

$x\ne 3$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{3\right\}$  

Ze wzoru funkcji g odczytujemy dziedzinę w jakiej funkcja g jest określona:

$D_g=\mathbf{R}-\left\{3\right\}$  

Dziedziny funkcji f i g są równe, więc przystępujemy do sprawdzenia, czy dla każdego argumentu z dziedziny wartości obu funkcji są jednakowe.

Z definicji i własności wartości bezwzględnej:

$\left|3-x\right|=\left|x-3\right|=\{\begin{array}{l}x-3\text{dla}x\ge 3\\ -\left(x-3\right)\text{dla}x<3\end{array}$  

Zatem wzór funkcji f możemy zapisać następująco:

$f\left(x\right)=\frac{\left|3-x\right|}{x-3}=\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{x-3}\text{dla}x>3\\ \frac{-\left(x-3\right)}{x-3}\text{dla}x<3\end{array}$  

Po uproszczeniu otrzymujemy:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1\text{dla}x>3\\ -1\text{dla}x<3\end{array}$  

Po przekształceniach otrzymaliśmy, że funkcje f i g mają takie same wzory. Wcześniej ustaliliśmy, że mają też takie same dziedziny. Oznacza to, że funkcje f i g są równe.