Niech dany będzie kąt skierowany 𝛼 w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu kąta wybieramy punkt P(x,y) różny od punktu O(0,0). Wówczas:

$\text{tg}\alpha =\frac{y}{x},x\ne 0$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{x}{y},y\ne 0$

$\sin \alpha =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y}{r}$  

$\cos \alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{r}$  

---

Przypomnijmy też wierszyk określający znaki funkcji trygonometrycznych:

"W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus."

---

---

a) sin𝛼 > 0, więc końcowe ramię kąta może znajdować się w I lub II ćwiartce układu współrzędnych. Oznacza to, że zawsze y>0, ale współrzędna x może być dodatnia lub ujemna.

Z definicji:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}$  

Ponieważ definicja sinusa, cosinusa, tangensa ani cotangensa kąta nie zależy od wyboru punktu P na końcowym ramieniu kąta, to bez straty ogólności możemy przyjąć, że:

$r=9$  

$y=2\sqrt{5}$  

W tym przypadku nie ma sensu wyznaczać współrzędnej x punktu P, bo tak samo jak y, jest ona liczbą niewymierną. Zbudujemy odcinek o długości 2√5 konstrukcyjnie.