Podstawowe tożsamości trygonometryczne:
1) sin2α+cos2α=1, jesˊli α jest dowolnym kątem
2) tg α⋅ctg α=1, jesˊli α=k⋅90∘, gdzie k∈C
3) cosαsinα=tg α, jesˊli α=90∘+k⋅180∘, gdzie k∈C
4) sinαcosα=ctg α, jesˊli α=k⋅180∘, gdzie k∈C
Tożsamość 1) nazywamy jedynką trygonometryczną.
α∈(180∘, 270∘) ⇒ sinα<0, cosα<0, tg α>0, ctg α>0
α∈(270∘, 360∘) ⇒ sinα<0, cosα>0, tg α<0, ctg α<0
a) sinα=−135, α∈(180∘, 270∘)
Obliczamy cos 𝛼 z jedynki trygonometrycznej:
sin2α+cos2α=1
(−135)2+cos2α=1
16925+cos2α=1
cos2α=169144
cosα=−1312<0 ∨ cosα=1312>0− odrzucamy
Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 3):
tg α=−1312−135=135⋅1213=125
Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 4):
ctg α=−135−1312=1312⋅513=512
Otrzymaliśmy:
cosα=−1312, tg α=125, ctg α=512
b) tg α=−512, α∈(270∘, 360∘)
Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 2):
tg α⋅ctg α=1
−512⋅ctg α=1 ∣⋅(−125)
ctg α=−125
Ze wzoru 3) wyznaczmy związek sinusa z cosinusem:
cosαsinα=tg α
cosαsinα=−512 ∣⋅cosα
sinα=−512cosα
Wykorzystując powyższą zależność i jedynkę trygonometryczną, obliczamy cos 𝛼:
sin2α+cos2α=1
(−512cosα)2+cos2α=1
25144cos2α+cos2α=1
25169cos2α=1 ∣⋅16925
cos2α=16925
cosα=135>0 ∨ cosα=−135<0− odrzucamy
Obliczamy sin 𝛼:
sinα=−512cosα
sinα=−512⋅135=−1312
Otrzymaliśmy:
sinα=−1312, cosα=135, ctg α=−125
c) ctg α=158, α∈(180∘, 270∘)
Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 2):
tg α⋅ctg α=1
tg α⋅158=1 ∣⋅815
tg α=815
Ze wzoru 3) wyznaczmy związek sinusa z cosinusem:
cosαsinα=tg α
cosαsinα=815 ∣⋅cosα
sinα=815cosα
Wykorzystując powyższą zależność i jedynkę trygonometryczną, obliczamy cos 𝛼:
sin2α+cos2α=1
(815cosα)2+cos2α=1
64225cos2α+cos2α=1
64289cos2α=1 ∣⋅28964
cos2α=28964
cosα=−178<0 ∨ cosα=178>0− odrzucamy
Obliczamy sin 𝛼:
sinα=815cosα
sinα=815⋅(−178)=−1715
Otrzymaliśmy:
sinα=−1715, cosα=−178, tg α=815
d) cosα=32, α∈(270∘, 360∘)
Obliczamy sin 𝛼 z jedynki trygonometrycznej:
sin2α+cos2α=1
sin2α+(32)2=1
sin2α+94=1
sin2α=95
sinα=−35<0 ∨ sinα=35>0− odrzucamy
Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 3):
tg α=32−35=−35⋅23=−25
Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 4):
ctg α=−3532=−32⋅53=−52=−525
Otrzymaliśmy:
sinα=−35, tg α=−25, ctg α=−525
