Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$\left|AB\right|=8\text{cm}$  

$\left|AC\right|=4\text{cm}$  

$\left|AD\right|:\left|DB\right|=1:3$  

---

Obliczamy długość przeciwprostokątnej  $BC:$  

${\left|AB\right|}^2+{\left|AC\right|}^2={\left|BC\right|}^2$  

$8^2+4^2={\left|BC\right|}^2$  

$64+16={\left|BC\right|}^2$  

$80={\left|BC\right|}^2$  

$\left|BC\right|=4\sqrt{5}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy długości odcinków  $AD$  i  $DB:$  

$\left|AD\right|+\left|DB\right|=\left|AB\right|$  

$x+3x=8$  

$4x=8\mid :4$  

$x=2\left[\text{cm}\right]$  

$3x=6\left[\text{cm}\right]$  

---

Trójkąty  $\Delta ABC$  i  $\Delta BDE$  są podobne na podstawie cechy kkk.

Z podobieństwa tych trójkątów wynika, że:

$\frac{\left|BE\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|DB\right|}{\left|BC\right|}$  

$\frac{\left|BE\right|}{8}=\frac{6}{4\sqrt{5}}\mid \cdot 8$  

$\left|BE\right|=\frac{12}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy długość odcinka  $CE:$  

$\left|CE\right|=\left|BC\right|-\left|BE\right|$  

$\left|CE\right|=4\sqrt{5}-\frac{12\sqrt{5}}{5}=\frac{20\sqrt{5}}{5}-\frac{12\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy stosunek  $\left|CE\right|:\left|EB\right|:$  

$\frac{\left|CE\right|}{\left|EB\right|}=\frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}}{\frac{12\sqrt{5}}{5}}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$  

---

Odp.  $\left|CE\right|:\left|EB\right|=2:3.$