8 szkoły podstawowej

Matematyka 8

Matematyka

Egzamin ósmoklasisty. Matematyka

Egzamin ósmoklasisty Matematyka. 2018/2019. Arkusz przykładowy

Egzamin ósmoklasisty Matematyka. Czerwiec 2020

Egzamin ósmoklasisty Matematyka. Grudzień 2018. Arkusz próbny

Egzamin ósmoklasisty Matematyka. Grudzień 2019. Arkusz próbny

Egzamin ósmoklasisty Matematyka. Kwiecień 2019

Egzamin ósmoklasisty Matematyka. Listopad 2018. Arkusz próbny

Egzamin ósmoklasisty Matematyka. Maj 2021

Egzamin ósmoklasisty Matematyka. Marzec 2020. Arkusz próbny

Egzamin ósmoklasisty Matematyka. Marzec 2021. Arkusz próbny

Matematyka 8. Ćwiczenia podstawowe

Matematyka 8. Podręcznik cz.1

Matematyka 8. Podręcznik cz.2

Matematyka 8. Zestawy zadań

Matematyka. Kalendarz ósmoklasisty

Matematyka. Przygotowanie do egzaminu ósmoklasisty. Repetytorium

Matematyka wokół nas 8

Matematyka z kluczem 8

Matematyka z plusem 8

Tak, zdam! Egzamin ósmoklasisty. Repetytorium Matematyka

Teraz egzamin ósmoklasisty. Arkusze

Teraz egzamin ósmoklasisty. Repetytorium

Dana liczba: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/799b917ea4a5cfb05357c62c528cb731c4741018d7ce915ed809c967e0c397dc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/799b917ea4a5cfb05357c62c528cb731c4741018d7ce915ed809c967e0c397dc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; liczba o przestawionych cyfrach:&nbsp;&nbsp;

Wiemy, że liczba a+1 jest podzielna przez 3 zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/81887d107ed2ffcaae2e639fdef8da1b1c83baf829366211a6b09d6dbf4afc84_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/81887d107ed2ffcaae2e639fdef8da1b1c83baf829366211a6b09d6dbf4afc84_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; gdzie&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8254c329a92850f6d539dd376f4816ee2764517da5e0235514af433164480d7a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8254c329a92850f6d539dd376f4816ee2764517da5e0235514af433164480d7a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;-liczba całkowita zauważmy, że:&nbsp;

a) wyznaczmy zmienną h: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9c9b3298560876b6dc194b91654aeea1d92d53e37c12e3364cb8dbffd9b563f0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9c9b3298560876b6dc194b91654aeea1d92d53e37c12e3364cb8dbffd9b563f0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;

Wprowadźmy następujące oznaczenia: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b8c6e14ce591bb9ac61ac1676a873b203c981a2ad140409aa911c838659f233a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b8c6e14ce591bb9ac61ac1676a873b203c981a2ad140409aa911c838659f233a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;-szukana trzycyfrowa liczba naturalna wiemy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/53df0e7d4c2a71ba9c1e37a199e1b32c721bc84b0834f9ef53525174c4ab456f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/53df0e7d4c2a71ba9c1e37a199e1b32c721bc84b0834f9ef53525174c4ab456f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a56f3a470d5708290d02de533d20e73026036d315d6ac5632bb78b7d03ae669f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a56f3a470d5708290d02de533d20e73026036d315d6ac5632bb78b7d03ae669f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ef741bd5dff4a56e56407b81f4d360004ed6f3b0732157fa74e5276de5e85d00_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ef741bd5dff4a56e56407b81f4d360004ed6f3b0732157fa74e5276de5e85d00_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; zatem:&nbsp;&nbsp;

Wprowadźmy następujące oznaczenia: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; -cena jednej książki <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/95455f7542c83a68194550f5e7d74ca0f2dc1073afbcddfba0f4d30473fe7b97_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/95455f7542c83a68194550f5e7d74ca0f2dc1073afbcddfba0f4d30473fe7b97_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; -cena drugiej książki Wiemy, że po podwyżce ceny pierwszej książki o 40%, a drugiej o 30% łączna cena książek wzrosła o 26 zł zatem:&nbsp; &nbsp;

Wprowadźmy następujące oznaczenia: x &nbsp; -wiek Zosi 2x &nbsp; -wiek pani Ewy Wiemy, że za 11 lat pani Ewa i Zosia będą miały razy 70 lat, zatem:&nbsp; x+11+2x+11=70 &nbsp; 3x+22=70 ∣−22 &nbsp; 3x=48 ∣:3 &nbsp; x=16 &nbsp; zatem: 2x=32 &nbsp; Odp.: Pani Ewa ma teraz 32 lata, a Zosia ma teraz 16 lat.

Wiemy, że motorówka płynąc ze stałą prędkością przepłynęła 67,5 km w ciągu trzech kwadransów czyli 45 minut Obliczmy jaką trasę przepłynęła ta motorówka w ciągu 1 minuty:&nbsp;

Wiemy, że: -w każdej klasie ósmej uczy się po 25 osób - w turnieju wzięło udział 45 osób -liczby uczestników z poszczególnych klas mają się do siebie w stosunku 2:3:4 Wprowadźmy następujące oznaczenia: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;-liczba będąca wspólną miarą proporcji&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b595b214b5d4865e79bd091744879680590d80e7656edd099474752aa09703de_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b595b214b5d4865e79bd091744879680590d80e7656edd099474752aa09703de_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; -liczba uczestników turnieju z klasy VIII a <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/35e93eb65d07f8e8fd5910c5ebe5925822a5d856f4b1c3c1af6e9f2b9193b806_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/35e93eb65d07f8e8fd5910c5ebe5925822a5d856f4b1c3c1af6e9f2b9193b806_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;-liczba uczestników turnieju z klasy VIII b <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ac74f8ab5b244e70e4dbe0c8095b095cb89047d2b484aa5b433e2de738f60cac_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ac74f8ab5b244e70e4dbe0c8095b095cb89047d2b484aa5b433e2de738f60cac_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;-liczba uczestników turnieju z klasy VIII c Obliczmy, ilu uczestników z poszczególnych klas wzięło udział w turnieju:&nbsp;&nbsp;

Wiemy, że: -średnie miesięczne wynagrodzenie w pewnej firmie zatrudniającej 29 pracowników wynosiło 4500 zł -po zatrudnieniu nowego pracownika średnie miesięczne wynagrodzenie zmalało o 50 zł Obliczmy sumę pensji 29 pracowników tej firmy (przed zatrudnieniem nowego pracownika) <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; -suma pensji 29 pracowników&nbsp;&nbsp;

Dane jest równanie: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/09c913a7d1b49cba13d1484a0cbfe55adfa2829be7715dcf10f88fca36424dd7_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/09c913a7d1b49cba13d1484a0cbfe55adfa2829be7715dcf10f88fca36424dd7_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Liczby naturalne mniejsze od 6 to: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6a8c344c362f904cf8f0ff9b910dbae99323c2bdb22349fe23aabebff12113f6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6a8c344c362f904cf8f0ff9b910dbae99323c2bdb22349fe23aabebff12113f6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Sprawdźmy czy liczba 0 jest rozwiązaniem tego równania:&nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d0a5fa8d767bddf10b5d50bc60cb040ace8adce636ad978aa304f4a7cba2a0b5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d0a5fa8d767bddf10b5d50bc60cb040ace8adce636ad978aa304f4a7cba2a0b5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/33066a5fcce84d0d4ed47d3afb3482da09b45e9976b73e1d7b50151cbb757d4a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/33066a5fcce84d0d4ed47d3afb3482da09b45e9976b73e1d7b50151cbb757d4a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Sprawdźmy czy liczba 1 jest rozwiązaniem tego równania: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/36cf1cb8a4e5a3023b160df125f21ff30211ebac336d34a6425233c3624e33ca_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/36cf1cb8a4e5a3023b160df125f21ff30211ebac336d34a6425233c3624e33ca_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/33066a5fcce84d0d4ed47d3afb3482da09b45e9976b73e1d7b50151cbb757d4a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/33066a5fcce84d0d4ed47d3afb3482da09b45e9976b73e1d7b50151cbb757d4a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Sprawdźmy czy liczba 2 jest rozwiązaniem tego równania: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fadda61ba66e021df97430616ee4bea4db7af6274d54aa2395959a832d2793d5_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fadda61ba66e021df97430616ee4bea4db7af6274d54aa2395959a832d2793d5_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/21864403b70a8bf83d6cc4111ed397cfdbe16c59bef691c9c4ecaf659cb361fd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/21864403b70a8bf83d6cc4111ed397cfdbe16c59bef691c9c4ecaf659cb361fd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Sprawdźmy czy liczba 3 jest rozwiązaniem tego równania: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/34c5a853ccf98bf7d07e4cf06ab315154d5680dae5f7ea697782ea6b7a5792e9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/34c5a853ccf98bf7d07e4cf06ab315154d5680dae5f7ea697782ea6b7a5792e9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/33066a5fcce84d0d4ed47d3afb3482da09b45e9976b73e1d7b50151cbb757d4a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/33066a5fcce84d0d4ed47d3afb3482da09b45e9976b73e1d7b50151cbb757d4a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Sprawdźmy czy liczba 4 jest rozwiązaniem tego równania: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2c6714a6f5546c8b875ebaff937fafa3be2b5e270c7660531ce63d231c7b3720_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2c6714a6f5546c8b875ebaff937fafa3be2b5e270c7660531ce63d231c7b3720_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/33066a5fcce84d0d4ed47d3afb3482da09b45e9976b73e1d7b50151cbb757d4a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/33066a5fcce84d0d4ed47d3afb3482da09b45e9976b73e1d7b50151cbb757d4a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Sprawdźmy czy liczba 5 jest rozwiązaniem tego równania: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/45ba7561364674218d6b72d646066a1217f9e0277ac9eed29877e4f65c48f887_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/45ba7561364674218d6b72d646066a1217f9e0277ac9eed29877e4f65c48f887_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/277f40b07f6fac104042450a969a23a144c1ec8bec469a9b9e0f6c06dd1695f0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/21864403b70a8bf83d6cc4111ed397cfdbe16c59bef691c9c4ecaf659cb361fd_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/21864403b70a8bf83d6cc4111ed397cfdbe16c59bef691c9c4ecaf659cb361fd_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Odp.: Rozwiązaniem tego równania są liczby 2 i 5.

Wprowadźmy następujące oznaczenia: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2d711642b726b04401627ca9fbac32f5c8530fb1903cc4db02258717921a4881_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; -wiek Zosi <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b595b214b5d4865e79bd091744879680590d80e7656edd099474752aa09703de_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b595b214b5d4865e79bd091744879680590d80e7656edd099474752aa09703de_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; -wiek pani Ewy Wiemy, że za 11 lat pani Ewa i Zosia będą miały razy 70 lat, zatem:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e770d9d3b002d4253c16347c5dd802a0de3b74828f102f370c48ab151c6dff4b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/e770d9d3b002d4253c16347c5dd802a0de3b74828f102f370c48ab151c6dff4b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b6197d28bd7b76908733aa3562c70ab63f90c666931b779d011accf175bd498c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b6197d28bd7b76908733aa3562c70ab63f90c666931b779d011accf175bd498c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/24744a9e3cf90702f285bafc5bcc154c37f320128c40f061e8196c99301fade3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/24744a9e3cf90702f285bafc5bcc154c37f320128c40f061e8196c99301fade3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ddb5f73b6640b47cc2fde0e64cb774f6f101906d20006d7ae0e0cdb4f7689359_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ddb5f73b6640b47cc2fde0e64cb774f6f101906d20006d7ae0e0cdb4f7689359_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d9245bb71fb6e5a941f6ddc561ee7a9858e4f50b3ef6327ad54c0cb78662113d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d9245bb71fb6e5a941f6ddc561ee7a9858e4f50b3ef6327ad54c0cb78662113d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Odp.: Pani Ewa ma teraz 32 lata, a Zosia ma teraz 16 lat.

Komentarze