Jeśli $\Delta \ge 0$  , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej:

$f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$  .

 

$a)$    $f\left(x\right)=9x^2-1$  

$\Delta =0^2-4\cdot 9\cdot \left(-1\right)=0+36=36>0$   - funkcję można zapisać w postaci iloczynowej.

$x_1=\frac{-0-\sqrt{36}}{2\cdot 9}=\frac{-6}{18}=-\frac{6}{18}=-\frac{1}{3}$  

$x_2=\frac{-0+\sqrt{36}}{2\cdot 9}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$  

$f\left(x\right)=9\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)=9\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$  - postać iloczynowa.

---

$b)$    $f\left(x\right)=x^2-2x-4$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=4+16=20>0$   - funkcję można zapisać w postaci iloczynowej.

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{20}}{2\cdot 1}=\frac{2-\sqrt{4\cdot 5}}{2}=\frac{2-\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}}{2}=\frac{2-2\cdot \sqrt{5}}{2}=\frac{2-2\sqrt{5}}{2}=1-\sqrt{5}$  

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{20}}{2\cdot 1}=\frac{2+\sqrt{4\cdot 5}}{2}=\frac{2+\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}}{2}=\frac{2+2\cdot \sqrt{5}}{2}=\frac{2+2\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}$  

$f\left(x\right)=(x-\left(1-\sqrt{5}\right)\left(x-\left(1+\sqrt{5}\right)\right)=\left(x-1+\sqrt{5}\right)\left(x-1-\sqrt{5}\right)$  - postać iloczynowa.