$a)$   $f\left(x\right)=-2x^2-12x-12$   ,     $g\left(x\right)=2x+8$  

I.   Obliczamy wielkości przydatne przy rysowaniu paraboli

miejsca zerowe:

$-2x^2-12x-12=0\mid :2$

$-x^2-6x-6=0\mid \cdot \left(-1\right)$

$x^2+6x+6=0\mid \cdot \left(-1\right)$

$\Delta =6^2-4\cdot 1\cdot 6-36-24=12$

$x_1=\frac{-6-\sqrt{2}}{2\cdot 1}=\frac{-6-\sqrt{4\cdot 3}}{2}=\frac{-6-\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{-6-2\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{-6-2\sqrt{3}}{2}=\frac{2\left(-3-\sqrt{3}\right)}{2}=-3-\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-6+\sqrt{2}}{2\cdot 1}=\frac{-6+\sqrt{4\cdot 3}}{2}=\frac{-6+\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{-6+2\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{-6+2\sqrt{3}}{2}=\frac{2\left(-3+\sqrt{3}\right)}{2}=-3+\sqrt{3}$

$\left(-3-\sqrt{3},0\right)$  ,   $\left(-3+\sqrt{3},0\right)$  

współrzędne wierzchołka:

$p=\frac{-6}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-\frac{6}{2}=-3$  

$f\left(p\right)=f\left(-3\right)=-2\cdot {\left(-3\right)}^2-12\cdot \left(-3\right)-12=-2\cdot 9+36-12=-18+24=6$  

$\left(-3,6\right)$  

współrzędne punktu przecięcia z osią  $y$

$y=-2\cdot 0^2-12\cdot 0-12$

$y=-12$   

$\left(0,-12\right)$  

Obliczamy wartość dla dwóch, dowolnie wybranych, punktów, aby narysować wykres funkcji liniowej

$g\left(0\right)=2\cdot 0+8=0+8=8$  

$g\left(-4\right)=2\cdot \left(-4\right)+8=0$  

 

 

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności $f\left(x\right)>g\left(x\right)$  

(sprawdzamy dla jakich  $x$  wykres funkcji $f\left(x\right)$  leży nad wykresem funkcji $g\left(x\right)$ )

$f\left(x\right)>g\left(x\right)$  dla $x\in \left(-5,-2\right)$  . 

 

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności $f\left(x\right)<g\left(x\right)$  

(sprawdzamy dla jakich  $x$  wykres funkcji $f\left(x\right)$  leży pod wykresem funkcji $g\left(x\right)$ )

$f\left(x\right)<g\left(x\right)$  dla $x\in \left(-\infty ,-5\right)\cup \left(-2,\infty \right)$  .

 

Na koniec sprawdzamy, w których punktach funkcje $f\left(x\right)$  i $g\left(x\right)$  się przecinają

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$  dla $x\in \left\{-5,-2\right\}$  .

 

II. Teraz rozwiążemy nierówność $f\left(x\right)>g\left(x\right)$  sposobem rachunkowym

$-2x^2-12x-12>2x+8\mid -2x$

  $-2x^2-14x-12>8\mid -8$

$-2x^2-14x-20>0\mid :2$

$-x^2-7x-10>0$  

Obliczamy $\Delta$  i miejsca zerowe funkcji

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-10\right)=49-40=9$  

$x_1=\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{9}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{7-3}{-2}=\frac{4}{-2}=-\frac{4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{9}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{7+3}{-2}=\frac{10}{-2}=-\frac{10}{2}=-5$  

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą mniejszą od zera 

$-1<0$

dlatego ramiona paraboli skierowane są do dołu.

 

 

Odczytujemy z wykresu dla jakich $x$  nierówność $-x^2-7x-10>0$  jest spełniona

$x\in \left(-5,-2\right)$  .