$a)$   $AB:x-2y-5=0$ , $AD:2x-y-1=0$ , $BD:x+y-2$  

 

Szukamy punktu przecięcia prostych  $AB:x-2y-5=0$  i  $AD:2x-y-1=0$

$\{\begin{array}{l}x-2y-5=0\\ 2x-y-1=0\mid +y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-2y-5=0\\ 2x-1=y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-2y-5=0\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-2\cdot \left(2x-1\right)-5=0\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-4x+2-5=0\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3x-3=0\mid +3x\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3=3x\mid :3\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1=x\\ y=2x-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\cdot \left(-1\right)-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-2-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-3\end{array}$  

Punkt $A$  ma współrzędne $\left(-1,-3\right)$ .

 

Szukamy punktu przecięcia prostych  $AB:x-2y-5=0$  i  $BD:x+y-2=0$

$\{\begin{array}{l}x-2y-5=0\mid +2y\\ x+y-2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-5=2y\mid +5\\ x+y-2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 2y+5+y-2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 3y+3=0\mid -3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ 3y=-3\mid :3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2y+5\\ y=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\cdot \left(-1\right)+5\\ y=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-2+5\\ y=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1\end{array}$  

Punkt $B$  ma współrzędne $\left(3,-1\right)$ .

 

Odległość między punktami $A=\left(x_A,y_A\right)$  i $B=\left(x_B,y_B\right)$  obliczamy ze wzoru

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2}$ .

Boki tego rombu mają długość:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|CD\right|=\left|DA\right|=\sqrt{{\left(-1-3\right)}^2+{\left(-3-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-3+1\right)}^2}=\sqrt{16+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=$  

$=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}$ .

 

Długości przekątnych: 

$\left|BD\right|=\sqrt{{\left(3-1\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2}=\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=$

$=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}=2\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}$

 

Nie znamy współrzędnych punktu $C$ .

Długość połowy przekątnej $AC$  możemy wyznaczyć stosując twierdzenie Pitagorasa (przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym).

Połowa przekątnej $BD$   ma długość 

$\frac{\left|BD\right|}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ ,

a bok