Odległość między punktami $O=\left(0,0\right)$  i $P=\left(x,y\right)$  obliczamy ze wzoru

$\left|OP\right|=\sqrt{{\left(0-x\right)}^2+{\left(0-y\right)}^2}$ .

 

$a)$     $P=\left(-4,3\right)$  

$\left|OP\right|=\sqrt{{\left(0-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(0-3\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Odległość punktu  $P$  od początku układu współrzędnych wynosi  $5$ .  

---

  $b)$     $P=\left(2,-5\right)$  

$\left|OP\right|=\sqrt{{\left(0-2\right)}^2+{\left(0-\left(-5\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$

Odległość punktu  $P$  od początku układu współrzędnych wynosi  $\sqrt{29}$ .

---

$c)$     $P=\left(-3,-9\right)$  

$\left|OP\right|=\sqrt{{\left(0-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(0-\left(-9\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-9\right)}^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=\sqrt{9\cdot 10}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{10}=3\cdot \sqrt{10}=3\sqrt{10}$

Odległość punktu  $P$  od początku układu współrzędnych wynosi  $3\sqrt{10}$ .

---

$d)$     $P=\left(3\sqrt{2},3\sqrt{2}\right)$  

$\left|OP\right|=\sqrt{{\left(0-3\sqrt{2}\right)}^2+{\left(0-3\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-3\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6$

Odległość punktu  $P$  od początku układu współrzędnych wynosi  $6$ .