Wyznacz te wartości parametru m, dla których...- Zadanie 2.271: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) - x^{2} + (m + 2) x + 8 m - 1 < 0$

Współczynnik przy x² jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane do dołu.

Nierówność będzie spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, gdy parabola będzie znajdowała się poniżej osi OX, czyli wystarczy sprawdzić, dla jakich wartości parametru m zachodzi Δ<0.

$Δ = (m + 2)^{2} + 4 (8 m - 1) = m^{2} + 4 m + 4 + 32 m - 4 = m^{2} + 36 m$

$Δ < 0 \Leftrightarrow m^{2} + 36 m < 0$

$m (m + 36) < 0$

$m \in (- 36, 0)$

$Odp. m \in (- 36, 0) .$

$b) 2 x^{2} + (3 + m) x + 2 > 0$

Współczynnik przy x² jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry.

Nierówność będzie spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą, gdy parabola będzie znajdowała się powyżej osi OX, czyli wystarczy sprawdzić, dla jakich wartości parametru m zachodzi Δ<0.

$Δ = (m + 3)^{2} - 16 = (m + 3 - 4) (m + 3 + 4) = (m - 1) (m + 7)$

$Δ < 0 \Leftrightarrow (m - 1) (m + 7) < 0$

$m \in (- 7, 1)$

$Odp. m \in (- 7, 1) .$

$c) (4 - m) x^{2} - 3 x + m + 4 > 0$

Sprawdźmy, co się dzieje gdy nierówność jest liniowa, czyli gdy:

$4 - m = 0$

$- m = - 4$

$m = 4$

Dla m=4 mamy:

$(4 - 4) \cdot x^{2} - 3 x + 4 + 4 > 0$

$0 \cdot x^{2} - 3 x + 8 > 0$

$- 3 x + 8 > 0$

$8 > 3 x$

$\frac{8}{3} > x$

Powyższa nierówność nie jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x.

Teraz zakładamy, że m≠4.

Mamy więc:

$4 - m > 0 \land Δ < 0$

$m < 4 \land 9 - 4 (4 - m) (m + 4) < 0$

$m < 4 \land 9 - 4 (16 - m^{2}) < 0$

$m < 4 \land 4 m^{2} - 55 < 0$

$m < 4 \land m^{2} < \frac{55}{4}$

$m < 4 \land ∣ m ∣ < \frac{55}{2}$

$m < 4 \land m < \frac{55}{2} \land m > - \frac{55}{2}$

$m \in (- \frac{55}{2}, \frac{55}{2})$

$Odp. m \in (- \frac{55}{2}, \frac{55}{2}) .$

$d) (m + 1) x^{2} - 2 (m - 1) x + 3 m - 3 < 0$

Sprawdźmy, co się dzieje gdy nierówność jest liniowa, czyli gdy:

$m + 1 = 0$

$m = - 1$

Dla m=-1 mamy:

$(- 1 + 1) x^{2} - 2 (- 1 - 1) x + 3 \cdot (- 1) - 3 < 0$

$0 \cdot x^{2} - 2 \cdot (- 2) x - 3 - 3 < 0$

$4 x - 6 < 0$

$4 x < 6$

$x < \frac{6}{4}$

$x < \frac{3}{2}$

Powyższa nierówność nie jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x.

Teraz zakładamy, że m≠-1.

Mamy więc:

$m + 1 < 0 \land Δ < 0$

$m < - 1 \land 4 (m - 1)^{2} - 12 (m - 1) (m + 1) < 0$

$m < - 1 \land (m - 1) [4 (m - 1) - 12 (m + 1)] < 0$

$m < - 1 \land 4 (m - 1) (m - 1 - 3 m - 3) < 0$

$m < - 1 \land 4 (m - 1) (- 2 m - 4) < 0$

$m < - 1 \land - 8 (m - 1) (m + 2) < 0$

$m \in (- \infty, - 1) \land m \in (- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$

$m \in (- \infty, - 2)$

$Odp. m \in (- \infty, - 2) .$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.