Dla jakich wartości parametru m równanie...- Zadanie 2.250: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$5 x^{2} - m x + 1 = 0$

Sprawdźmy najpierw, dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania. Będzie tak, gdy:

$Δ > 0$

Obliczamy:

$Δ = m^{2} - 20 = (m - 25) (m + 25)$

Rozwiązujemy nierówność:

$Δ > 0$

$(m - 25) (m + 25) > 0$

$m \in (- \infty, - 25) \cup (25, + \infty)$

Chcemy, by był spełniony warunek:

$∣ x_{1} - x_{2} ∣ \geq 1$

Obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy podnieść je stronami do kwadratu. Otrzymujemy:

$∣ x_{1} - x_{2} ∣ \geq 1 ∣^{2}$

$(x_{1} - x_{2})^{2} \geq 1$

$x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \geq 1$

$(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} \geq 1$

Ze wzorów Viete'a mamy:

$\frac{1}{25} m^{2} - \frac{4}{5} \geq 1$

$\frac{1}{25} m^{2} \geq \frac{9}{5} / \cdot 25$

$m^{2} \geq 45$

$∣ m ∣ \geq 45$

$∣ m ∣ \geq 35$

$m \geq 35 \lor m \leq - 35$

$m \in (- \infty, - 35 ⟩ \cup ⟨ 35, + \infty)$

Stąd i z warunku na $Δ,$ otrzymujemy:

$m \in (- \infty, - 25) \cup (25, + \infty) \land m \in (- \infty, - 35 ⟩ \cup ⟨ 35, + \infty)$

$m \in (- \infty, - 35 ⟩ \cup ⟨ 35, + \infty)$

$Odp. m \in (- \infty, - 35 ⟩ \cup ⟨ 35, + \infty) .$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.