Dla jakich wartości parametru k różne rozwiązania...- Zadanie 2.237: Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$k x^{2} - (k + 1) x - 2 k + 3 = 0$

Sprawdźmy najpierw, dla jakich wartości parametru k równanie ma dwa różne rozwiązania.

Będzie tak, gdy równanie będzie równaniem kwadratowym (k≠0) oraz, gdy ∆>0.

Obliczamy:

$Δ = (k + 1)^{2} - 4 k (- 2 k + 3) = k^{2} + 2 k + 1 + 8 k^{2} - 12 k = 9 k^{2} - 10 k + 1$

$Δ^{'} = 100 - 36 = 64, Δ^{'} = 8$

$k = \frac{10 - 8}{18} = \frac{1}{9} \lor k = \frac{10 + 8}{18} = 1$

Zatem:

$Δ = 9 (k - \frac{1}{9}) (k - 1)$

Szkicujemy wykres dla $Δ :$

Rozwiązujemy nierówność:

$9 (k - \frac{1}{9}) (k - 1) > 0$

$k \in (- \infty, \frac{1}{9}) \cup (1, + \infty)$

Zauważmy teraz, że podany warunek możemy przekształcić następująco:

$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = k + 1$

$\frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = k + 1$

Ze wzorów Viete'a mamy:

$\frac{k + 1}{- 2 k + 3} = k + 1 / \cdot (- 2 k + 3), - 2 k + 3 \neq = 0 \Rightarrow k \neq = \frac{3}{2}$

(Na mocy wzoru Viete'a założenie -2k+3≠0 gwarantuje, że pierwiastki równania są różne od zera.)

$k + 1 = (k + 1) (- 2 k + 3)$

$k + 1 = - 2 k^{2} - 2 k + 3 k + 3$

$2 k^{2} - 2 = 0 / : 2$

$k^{2} - 1 = 0$

$k^{2} = 1$

$k = 1 \lor k = - 1$

Uwzględniamy założenie, które przyjęliśmy w trakcie obliczeń.

$(k = 1 \lor k = - 1) \land k \neq = \frac{3}{2}$

$k \in {- 1, 1}$

Łącząc wszystkie warunki otrzymujemy:

$k \neq = 0 \land k \in (- \infty, \frac{1}{9}) \cup (1, + \infty) \land k \in {- 1, 1}$

$k = - 1$

$Odp. k = - 1 .$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.