$\text{a)}\sqrt{\left(2-x\right)\left(x+3\right)}\le x+1$  

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$\left(2-x\right)\left(x+3\right)\ge 0$  

$D=⟨-3,2⟩$  

Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie nierówności, czyli  $x+1$  może przyjmować wartość nieujemną lub ujemną.

Rozważamy więc dwa przypadki:

$1)x+1<0,$  czyli  $x<-1$  

Wówczas nierówność jest sprzeczna, czyli  $x\in \varnothing .$  

 

$2)x+1\ge 0,$  czyli  $x\ge -1$  

Wówczas obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu.

$\sqrt{\left(2-x\right)\left(x+3\right)}\le x+1{\text{/}}^2$  

$\left(2-x\right)\left(x+3\right)\le x^2+2x+1$  

$-x^2-x+6\le x^2+2x+1$  

$-2x^2-3x+5\le 0$  

$\Delta =9+40=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{3-7}{-4}=1\vee x_2=\frac{3+7}{-4}=-2\frac{1}{2}$  

$x\in (-\infty ,-2\frac{1}{2}⟩\cup ⟨1,+\infty )$  

Szukamy rozwiązania dla  $x\ge -1,$  więc:

$x\in ⟨1,+\infty )$  

 

Po zsumowaniu obu przypadków i uwzględnieniu dziedziny, otrzymujemy:

$x\in ⟨-3,2⟩\wedge x\in ⟨1,+\infty )$  

$x\in ⟨1,2⟩$